Шар в желобе

[pogulyat_vyshel]

Желоб образован двумя плоскостями, пересекающимися по прямой $\ell$ под углом $\pi/2$. Прямая $\ell$ расположена горизонтально. Одна из плоскостей движется поступательно с заданной скоростью $v=v(t)$, скорость направлена вдоль прямой $\ell$. В желоб кладут однородный массивный шар. Шар не проскальзывает по бортам желоба. Найти ускорение центра шара.

[drobyshev]

(Оффтоп)

$2\dot{v}/9$.

[pogulyat_vyshel]

Вы как всегда правы

[pogulyat_vyshel]

drobyshev

В общем случае, когда угол равен не $\pi/2$, а $\alpha$ у меня получился довольно странный ответ

$$\frac{\dot v}{\frac{mr^2}{J}\Big(1-\cos\alpha\Big)+2},\quad J=2mr^2/5.$$

При $\alpha=0$ это еще куда ни шло, а вот при $\alpha=\pi$ должна вроде бы получаться какая-нибудь неопределенность, а не получается, ну и как это интерпретировать?

[realeugene]

pogulyat_vyshel в сообщении #1474064 писал(а):

ну и как это интерпретировать

Как то, что шар в таком пределе ещё и раскручивается вокруг вертикальной оси с бесконечной угловой скоростью, и для его раскрутки требуется бесконечная энергия?

[AnatolyBa]

А интересно бы посмотреть на условие для коэффициента трения - какой он должен быть для движения без проскальзывания.
Не взлетает ли он в небеса?

[pogulyat_vyshel]

Может и взлетает. Только вопрос остается. В таких задачах обычно если предел существует то он имеет какой-то механический смысл, он не должен быть случайным

[realeugene]

AnatolyBa в сообщении #1474072 писал(а):

А интересно бы посмотреть на условие для коэффициента трения - какой он должен быть для движения без проскальзывания.

Коэффициент трения накладывает ограничение сверху только на $\left|\dot v\right|$.

А как эта задача решается честно без наблюдения, что угловая скорость вращения вокруг вертикальной оси функционально зависит от $\dot v$?

[pogulyat_vyshel]

В связи с этой задачей процитирую Сумбатова:

Беген привел любопытный пример: шар катается по плоскости,
касаясь одновременно поверхности кругового цилиндра,
образующие которого ортогональны плоскости. Если цилиндр
неподвижен, уравнения Лагранжа без множителей применимы.
Но если цилиндр вращается вокруг своей оси по заданному
закону, траектории точек контакта на плоскости и
цилиндрической поверхности остаются по-прежнему априори
известными, а вот траектории этих точек на сферической
поверхности без анализа динамики системы определить
нельзя, и воспользоваться уравнениями Лагранжа второго рода
невозможно.

[realeugene]

А насколько законно разделить кинетическую энергию на энергию вращения вокруг вертикальной оси и энергию вращения вокруг горизонтальной оси при качении и решать равносильную задачу для невращающегося вокруг вертикальной оси шара?

[pogulyat_vyshel]

https://www.physicsforums.com/threads/the-lagrange-dalembert-principle-for-rigid-bodies.991600/

[realeugene]

Но

$$\frac{\dot v}{\frac{mr^2}{J}\Big(1-\cos\alpha\Big)+2}=\frac J {J+m R^2}\dot v_c$$

где $R=r\sin(\alpha/2)$ - расстояние от центра шара до отрезка, соединяющего точки контакта шара с плоскостями, а $v_c=v/2$ - это мгновенная скорость точки шара в центре этого отрезка, которая определяется кинематически. То есть это совпадает с решением задачи для цилиндра радиуса $R$ с моментом инерции $J$ и массой $m$, свободно катящегося без проскальзывания по плоскости, движущейся со скоростью $v_c$. Это не выглядит как случайное совпадение. Нет ли общего способа отделять кинематические степени свободы от динамических?

Например, заметить, что общие уравнения механики для свободного вращения шара в этой задаче и в гамильтоновой post1473893.html#p1473893 совпадают, если в гамильтоновой задаче скорость плоскостей половинная, а значит, и решение должно совпадать? А решение для цилиндра выписывается немедленно через уравнения Лагранжа.

[realeugene]

pogulyat_vyshel в сообщении #1475056 писал(а):

https://www.physicsforums.com/threads/the-lagrange-dalembert-principle-for-rigid-bodies.991600/

На самом деле, описанное по ссылке, конечно, красивая иллюстрация силы этого метода, но для решения задачи она совершенно избыточна. Из кинематических соображений следует, что связям может удовлетволять только одномерное виртуальное перемещение, состоящее из поступательного движения шара вперёд и его одновременного поворота вокруг оси, параллельной AB. Как и очевидно, что поступательная скорость шара направлена вдоль прямой пересечения плоскостей, и угловая скорость вращения вокруг оси, параллельной AB, связана простым линейным соотношением с поступательной скоростью шара и скоростью подвижной плоскости. Все остальные движения шара определяются кинематически и, следовательно, в скалярное произведение в принципе д'Алаббера-Лагранжа не входят и их можно игнорировать. Отсюда немедленно следует возможность сведения этой неголономной задачи к гамильтоновой задаче с катящимся цилиндром, заменяя чисто кинематические движения, не входящие в проекции на возможные перемещения, на другие, более простые, но оставляя неизменными движения, вдоль которых можно двигать систему виртуально. Но тривиально найти решение и непосредственно из полученных уравнений.

И, кстати, в примере Бегена возможные виртуальные перемещения в подходящих локальных координатах те же самые, так что, и ответ в нём такой же.