Определители с аналитическими функциями

[RIP]

Обозначим через $\mathcal M$ множество целых функций $f(z)$, удовлетворяющих при всех $z\in\mathbb C$ неравенству

$$|f(z)|\le2^{|z|+1000}.$$

При $n\in\mathbb N$ обозначим

$$M_n=\sup\Bigl|\det(f_k(j))_{k,j=1}^n\Bigr|,$$

где супремум берётся по всем наборам функций $f_k\in\mathcal M$.

1) Докажите, что

$$\lim_{n\to\infty} M_n=0.$$

1.5) Докажите, что

$$\limsup_{n\to\infty}M_n^{1/n^2}<1.$$

2*) Существует ли предел $\lim M_n^{1/n^2}$?

[Руст]

Задача на определители Вермонда. Если предел существует (думаю это так, возни много), то он $\sqrt{\frac{4}{e}}$. Так, что 1.5 неверен.

[Руст]

Я ошибся, считая что функции $f(n)=(-a)^n$ удовлетворяют условиям при действительных а взяв функции $exp(bz),b=ln|a|+\pi i$. Для максимизации определителя вермонда придётся брать $f_j(z)=exp(ln 2 zexp(ij\frac{2\pi}{n}))$. Тогда определитель равен $\prod_{j<k}(x_k-x_j)$, где
$x_k=2^{cos\frac{2\pi k}{n}}exp(iln2 sin\frac{2\pi k}{n}).$

[RIP]

Не совсем понятно, как от определителей с произвольными функциями перейти к Вандермондам...

[RIP]

Решил написать решение п. 1.5. Решение основано на оценках интерполяционных определителей из этой статьи.

Лемма 1. Пусть $\theta\in(1;+\infty)$, $n\in\mathbb N$, $F(z)$ --- целая функция, $F(1)=F(2)=\ldots=F(n-1)=0$. Тогда справедливо неравенство

$$|F(n)|\le|F|_{\theta n}\exp\bigl(-\ell(\theta)n+c_0\log(n+1)\bigr),$$

где обозначено

$$|F|_R=\sup_{|z|=R}|F(z)|\qquad(R\ge0),$$

$$\ell(\theta)=(2\theta^2-1)\log\theta-(\theta^2-1)\log(\theta^2-1),$$

и постоянная $c_0=c_0(\theta)$.

Док-во. Рассмотрим целую функцию

$$G(z)=F(z)\prod_{k=1}^{n-1}\frac{(\theta n)^2-kz}{\theta n(z-k)}.$$

По принципу максимума,

$$|G(n)|\le|G|_{\theta n}.$$

Но при $|z|=\theta n$

$$\left|\frac{(\theta n)^2-kz}{\theta n(z-k)}\right|=\left|\frac{z\overline z-kz}{\theta n(z-k)}\right|=1,$$

поэтому

$$|G|_{\theta n}=|F|_{\theta n}.$$

Наконец, по формуле Стирлинга,

$$G(n)=F(n)\exp\bigl(\ell(\theta)n+O(\log(n+1))\bigr).$$

Лемма доказана.\qed

В следующей лемме используются те же обозначения.

Лемма 2. Пусть $f_1(z),\ldots,f_n(z)$ --- целые функции, $\theta>1$. Тогда справедливо неравенство

$$\left|\det(f_k(j))_{k,j=1}^n\right|\le n!\max_{\sigma\in S_n}\prod_{j=1}^n|f_{\sigma(j)}|_{\theta j}\exp\bigl(-\ell(\theta)j+c_0\log(j+1)\bigr)$$

($S_n$ --- группа подстановок множества $\{1,2,\ldots,n\}$).

Доказательство. Индукция по $n$.
Рассмотрим функцию

$$F(z)=\det\begin{pmatrix}f_1(1)&f_1(2)&\ldots&f_1(n-1)&f_1(z)\\f_2(1)&f_2(2)&\ldots&f_2(n-1)&f_2(z)\\\hdotsfor{5}\\f_n(1)&f_n(2)&\ldots&f_n(n-1)&f_n(z)\end{pmatrix}.$$

По лемме 1,

$$|F(n)|\le|F|_{\theta n}\exp\bigl(-\ell(\theta)n+c_0\log(n+1)\bigr).$$

Разложим определитель по последнему столбцу:

$$F(z)=\sum_{j=1}^nA_{j,n}f_j(z).$$

Тогда

$$|F|_R\le n\max_{1\le j\le n}|A_{j,n}|\cdot|f_j|_R.$$

Оценивая $|A_{j,n}|$ по индукционному предположению, получаем требуемое.\qed

П. 1.5 задачи моментально следует из леммы 2, поскольку $\sup_{\theta>1}\ell(\theta)/\theta=0.7859\ldots>\log2$ ($\theta=1.783\ldots$).

P.S. На самом деле то, что значения функций рассматриваются в натуральных числах, здесь не совсем по существу (просто оценки получаются получше благодаря формуле Стирлинга). Так, можно доказать, что для произвольных целых функций $f_1(z),\ldots,f_n(z)$, произвольных комплексных чисел $z_1,\ldots,z_n$, занумерованных в порядке возрастания модулей (т.е. $|z_1|\le|z_2|\le\ldots\le|z_n|$), и произвольных $\theta_1\ge1,\ldots,\theta_n\ge1$ справедливо неравенство

$$\left|\det(f_k(z_j))_{k,j=1}^n\right|\le n!\max_{\sigma\in S_n}\prod_{j=1}^n|f_{\sigma(j)}|_{\theta_j|z_j|}\left(\frac{2\theta_j}{\theta_j^2+1}\right)^{j-1}.$$

(Целость функций можно заменить на голоморность в круге $|z|\le\max_{1\le j\le n}\theta_j|z_j|$.)