Криволинейные и поверхностные интегралы

[Solaris86]

Тема для меня очень важная и одновременно трудно понимаемая. Поэтому хочу в этой ветке разобраться с этими интегралами.
Для начала вопрос по связям между этими интегралами. Всё, что мне удалось выяснить о существующих связях (где связь есть, написана формула, где мне неизвестно, вместо формулы знак вопроса):
1. Криволинейный интеграл I рода и двойной интеграл по плоской области:?
2. Криволинейный интеграл II рода и двойной интеграл по плоской области (формула Остроградского-Грина):$\iint\limits_{S}(\frac{\partial Q(x;y)}{\partial x}-\frac{\partial P(x;y)}{\partial y})dxdy= \oint\limits_{L}P(x;y)dx+Q(x;y)dy$
3. Криволинейный интеграл I рода и криволинейный интеграл II рода:
1) для плоской кривой:
а) явное представление кривой интегрирования: $\int\limits_{L}P(x;y)dx+Q(x;y)dy = \int\limits_{L}(P(x;y)\cos\alpha + Q(x;y)\cos\beta)dl$
б) параметрическое представление кривой интегрирования:?
в) представление кривой интегрирования в полярных координатах:?
2) для пространственной кривой:
а) явное представление кривой интегрирования: $\int\limits_{L}P(x;y;z)dx+Q(x;y;z)dy+R(x;y;z)dz=?$
б) параметрическое представление кривой интегрирования:?
в) представление кривой интегрирования в цилиндрических координатах:?
г) представление кривой интегрирования в сферических координатах:?
4. Поверхностный интеграл I рода и тройной интеграл по объёмной области:?
5. Поверхностный интеграл II рода и тройной интеграл по объёмной области (формула Остроградского-Гаусса): $\iiint\limits_{V}(\frac{\partial P(x;y;z)}{\partial x}+\frac{\partial Q(x;y;z)}{\partial y}+\frac{\partial R(x;y;z)}{\partial z})dxdydz= \iint\limits_{S}P(x;y;z)dydz+Q(x;y;z)dxdz+R(x;y;z)dxdy$
6. Поверхностный интеграл I рода и поверхностный интеграл II рода:
а) явное представление поверхности интегрирования:?
б) параметрическое представление поверхности интегрирования:?
в) представление поверхности интегрирования в цилиндрических координатах:?
г) представление поверхности интегрирования в сферических координатах:?
7. Криволинейный интеграл I рода и поверхностный интеграл I рода:?
8. Криволинейный интеграл I рода и поверхностный интеграл II рода:?
9. Криволинейный интеграл II рода и поверхностный интеграл I рода:?
10. Криволинейный интеграл II рода и поверхностный интеграл II рода (формула Стокса): $\iint\limits_{S}(\frac{\partial Q(x;y;z)}{\partial x}-\frac{\partial P(x;y;z)}{\partial y})dxdy + (\frac{\partial R(x;y;z)}{\partial y}-\frac{\partial Q(x;y;z)}{\partial z})dydz + (\frac{\partial P(x;y;z)}{\partial z}-\frac{\partial R(x;y;z)}{\partial x})dxdz = \int\limits_{L}P(x;y;z)dx+Q(x;y;z)dy+R(x;y;z)dz$

[StaticZero]

Как считает форум, достаточно товарища отправить дифференциальные формы изучать?

[EUgeneUS]

StaticZero
Не скажу за форум, но моё мнение - никуда ТС отправлять не нужно. ТС получает инженерную специальность.
Что нужно от ТС, так это конкретные вопросы, что ему не понятно. Так как список тем в стартовом посте не говорит совершенно ничего о том, какая помощь нужна ТС.

[Solaris86]

EUgeneUS в сообщении #1474136 писал(а):

Что нужно от ТС, так это конкретные вопросы, что ему не понятно. Так как список тем в стартовом посте не говорит совершенно ничего о том, какая помощь нужна ТС.

Вопрос в стартовом посте звучал так: есть ли связи между интегралами, которые у меня обозначены знаком вопроса, и если такая связь есть, то какова её формула (или хотя бы в каком учебнике можно найти).
Уяснение связей между понятиями поможет мне ухватить суть всех этих интегралов, потому что пока мне неясно, если есть криволинейный и поверхностный интегралы I рода, зачем нужно было ещё и вводить II рода. Физические приложения их в книге написаны, но пока не получается обобщить всю эту информацию и всё разложить в голове по полочкам.

[EUgeneUS]

Solaris86 в сообщении #1474188 писал(а):

что пока мне неясно, если есть криволинейный и поверхностный интегралы I рода, зачем нужно было ещё и вводить II рода.

В интегралах I рода на области интегрирования определена скалярное поле (каждой точке сопоставлено число).
В интегралах II рода на области интегрирования определено векторное поле (каждой точке сопоставлен вектор).

Зачем это нужно - довольно странный вопрос, если Вы разобрались с примерами из физики, например.

Solaris86 в сообщении #1474188 писал(а):

есть ли связи между интегралами, которые у меня обозначены знаком вопроса, и если такая связь есть, то какова её формула (или хотя бы в каком учебнике можно найти).

Связь в наиболее общем виде дается теоремой Стокса (не путать с формулой Стокса). Но это то, куда пытался отправить StaticZero, то есть к дифференциальным формам.
Для $\mathbb{R}^3$ перечень "связей" ограничивается "сводкой практически важных теорем многомерного анализа". Вы их все и перечислили, кроме теоремы о градиенте.

[arseniiv]

(Интересно, а для интегрирования $n$-векторного поля придётся род N вводить? Я раньше как-то не подумал, потом к счастью все эти роды забыл вместе с родами ошибок, и не задумывался.)

EUgeneUS в сообщении #1474217 писал(а):

Связь в наиболее общем виде дается теоремой Стокса (не путать с формулой Стокса).

Да их как попало вроде зовут, и более полезным отличием будет то, что нужная из них часто зовётся «обобщённая».

Solaris86
Вообще всё должно стать проще, если увидеть геометрический смысл, то есть в случае необобщённого трёхмерия выразить все эти $P, Q, R$ и частные производные через геометрические вещи типа дивергенции, ротора, градиента. Тогда то, сколько таких формул для трёхмерия есть, будет легко перечисляться/запоминаться.

Плюс вы наверно зря примешали к этому координаты. Координаты этому ортогональны, потому что переход от одних к другим происходит всё время одинаковыми заменами, благо уж дифференциалы в этих видах интегралов мнемонически работают точно так же хорошо как в интегралах скалярных функций по всевозможноразмерным областям.

(Хм, хотя наверно не всё совсем просто. $dx\, dy\, dz$ мы до $X\,dr\,d\varphi\,d\theta$, предположим, заменим обычно через якобиан, а $dx\,dz$ даёт линейную комбинацию $X_1\,dr\,d\varphi + X_2\,dr\,d\theta + X_3\,d\varphi\,d\theta$ — получается ли правильная при бездумной замене по аналогии?..)

-- Сб июл 18, 2020 00:41:48 --

Но как ни крути, а поливекторы и дифформы и интеграл дифформы — это the ultimate reality под всеми этими видами интегралов и всем разнообразием конкретных штук в низких размерностях. В высоких размерностях без этого не получится, плюс понимание низких, если оно прям так нужно цельное, тоже не получится без. Притом не обязательно ведь сразу прыгать в риманову геометрию, вполне нормально разобраться с дифформами в евклидовом пространстве для всего вышеперечисленного.

Вот кстати есть ещё интегралы от псевдоформ, позволяющие неориентируемое многообразие взять (в визуализации там будут вместо маленьких площадок маленькие псевдоплощадки, имеющие вместо внутренней ориентации внешнюю). Вот это уже меньше известно чем дифформы, хотя столь же геометрически просто (для низкомерных случаев картинки прекрасно рисуются).

-- Сб июл 18, 2020 01:14:58 --

arseniiv в сообщении #1474236 писал(а):

получается ли правильная при бездумной замене по аналогии?..

Вот если мы например вооружимся формами, то всё великолепно получается:
1. Вспомним, что $dx_1\ldots dx_m$ на самом деле означает внешнее произведение $dx_1\wedge\ldots\wedge dx_m$.
2. Вспомним что замена переменных $x_i = f_i(\tilde x_1,\ldots,\tilde x_n)$, когда $(f_1,\ldots,f_m)$ дифференцируемая функция, даёт нам дифференциалы $dx_i = \partial_1 f_i\,d\tilde x_1 + \ldots + \partial_n f_i\,d\tilde x_n$.
3. Собственно подставим эти выражения в какие-то нужные нам $dx_{k_1}\wedge\ldots\wedge dx_{k_s}$ и поупрощаем. Всё.

Например вот полярные координаты:

$$x = r\cos\varphi, \qquad y = r\sin\varphi.$$

Дифференцируем:

$$dx = \cos\varphi\,dr - r\sin\varphi\,d\varphi, \qquad dy = \sin\varphi\,dr + r\cos\varphi\,d\varphi.$$

Теперь упрощаем единственное нетривиальное произведение, которое у нас в двумерии возможно, без воспоминания о якобиане (хотя грех им предвычисленным не воспользоваться в подобном случае в иное время, ведь таким образом собственно он и будет вычисляться, если только мы не перепутаем порядок форм в произведениях, отчего может выйти минус якобиан), вспоминая о том, что $A\wedge A = 0$ и $A\wedge B = -B\wedge A$:

$$\begin{equation*}\begin{split} dx\wedge dy &= (\cos\varphi\,dr - r\sin\varphi\,d\varphi)\wedge(\sin\varphi\,dr + r\cos\varphi\,d\varphi) = \\ &= ((\cos\varphi)(r\cos\varphi) - (-r\sin\varphi)(\sin\varphi))\,dr\wedge d\varphi = \\ &= r\,dr\wedge d\varphi. \end{split}\end{equation*}$$

Хотя даже для всяких не таких уже тривиальных $d\varphi\,d\theta$-в-трёхмерии можно будет конечно это всё и не трогать, постулировав определительчики типа «определителя», по которому вычисляется векторное произведение в координатах. Но их смысл останется туманным без рассмотрения инвариантных понятий.

-- Сб июл 18, 2020 01:27:34 --

А, ну и ответ на мою собственную цитату: да, бездумная замена возможна. Хотя она требует конечно уметь базово работать с $\wedge$. А дифференциалы функций многих переменных к этому моменту брать уже умеют. Дифференцировать сами формы не приходится.

[Solaris86]

Благодарю! Попробую начать изучение дифференциальных форм.

[svv]

Solaris86
Дифформы — это хорошо, это теоретический базис. Но интегральные теоремы часто формулируются в векторной форме — этот язык тоже надо знать. В идеале Вы легко переходите от дифформ к векторам и обратно, пользуясь тем, что больше подходит.

[Walker_XXI]

svv в сообщении #1475061 писал(а):

Дифформы — это хорошо, это теоретический базис. Но интегральные теоремы часто формулируются в векторной форме — этот язык тоже надо знать.

Это конечно. Но дифформы как раз дают видение той общности и простоты (относительной), которая скрывается за всеми этими интегралами разных родов и размерностей. Ведь именно этого жаждет ТС.