Свойства пустого множества

[mihaild]

Sicker в сообщении #1474798 писал(а):

Это значит, что мы имеет $P(x)$ для пустого множества

Я чисто синтаксически не понимаю, что это такое. Что такое $P$? Что значит "(формула) для пустого множества"?
Предлагаю писать формулы, причем полностью, без ссылок на "второе утверждение" в каком-то из предыдущих сообщений, иначе мы точно никуда не уедем.

Sicker в сообщении #1474798 писал(а):

ложно утверждение - пустое множество одновременно и непустое множество

Как это связано с

Sicker в сообщении #1474447 писал(а):

утверждение о пустом множестве элементов ложно

? Что вы тут вообще понимаете под "утверждением о пустом множестве"? (напишите определение)

Sicker в сообщении #1474798 писал(а):

но не согласен в какой либо пользе применения

Тогда вам не в эту тему, потому что она явно про внутренние вопросы теории множеств.

[Sicker]

mihaild в сообщении #1474803 писал(а):

редлагаю писать формулы, причем полностью, без ссылок на "второе утверждение" в каком-то из предыдущих сообщений, иначе мы точно никуда не уедем.

Ну вы же согласны, что любое утверждение о пустом множестве истинно? Ну т.е. $P(x)$ верно если $x$-пустое множество?

mihaild в сообщении #1474803 писал(а):

Как это связано с

Это утверждение о пустом множестве - и оно ложно

mihaild в сообщении #1474803 писал(а):

Что вы тут вообще понимаете под "утверждением о пустом множестве"? (напишите определение)

Я не знаю, вы знаете лучше

mihaild в сообщении #1474803 писал(а):

Тогда вам не в эту тему, потому что она явно про внутренние вопросы теории множеств.

Так я явные вопросы и обсуждаю, это arseniiv троллит, не прочитав моего предыдущего исправленного сообщения

[Mikhail_K]

Sicker в сообщении #1474805 писал(а):

Ну вы же согласны, что любое утверждение о пустом множестве истинно? Ну т.е. $P(x)$ верно если $x$-пустое множество?

Нет конечно!
Верно любое утверждение вида $\forall x\in\varnothing,\,P(x)$.

[arseniiv]

Sicker в сообщении #1474798 писал(а):

Так и знал, для непустого Для пустого неверно чтоль?

Здесь $x$ — элемент обсуждаемого множества $X$. Какой это элемент для пустого $X$?

Sicker в сообщении #1474798 писал(а):

Вот, пожалуйста

Спасибо, посмотрим…

[Mikhail_K]

Sicker в сообщении #1474447 писал(а):

Можно доказать, что утверждение о пустом множестве элементов ложно... Это делается по аналогии с истинностью

Смотрите:
верно любое утверждение вида $\forall x\in\varnothing,\,P(x)$.
Конечно, точно так же верно и любое утверждение вида $\forall x\in\varnothing,\,\text{НЕ}\,P(x)$.
Но эти два утверждения друг другу никак не противоречат!
Потому что отрицанием для первого утверждения $\forall x\in\varnothing, P(x)$ служит вовсе не второе утверждение, а вот какое: $\exists x\in\varnothing:\,\text{НЕ}\,P(x)$. Оно очевидно ложно, как и должно быть.

[Sicker]

Mikhail_K в сообщении #1474808 писал(а):

ерно любое утверждение вида $\forall x\in\varnothing,\,P(x)$.

Ой, точно! Я это и хотел сказать

arseniiv в сообщении #1474809 писал(а):

Здесь $x$ — элемент обсуждаемого множества $X$. Какой это элемент для пустого $X$?

Никакой

[arseniiv]

Sicker

arseniiv в сообщении #1474809 писал(а):

Спасибо, посмотрим…

Посмотрел и не вижу чем это пример. Тема старая, уровень какой-то не очень высокий к тому же. Что-то в форуме всё-таки улучшилось. Я надеюсь сейчас и здесь никто не станет отрицать существование пустой функции. Это вшито в математику и общепринято было куда раньше чем даже во время активности той темы.

Sicker в сообщении #1474819 писал(а):

Никакой

Как тогда $P(x)$ может быть ложно?

-- Пн июл 20, 2020 03:30:57 --

Sicker в сообщении #1474819 писал(а):

Ой, точно! Я это и хотел сказать

Ну вот в очередной раз кашу заварили только из-за лени подумать перед отправкой поста.


UPD:

arseniiv в сообщении #1474820 писал(а):

Это вшито в математику и общепринято было куда раньше чем даже во время активности той темы.

И от пустой функции не меньше смысла чем от нуля. И подобное уже обсуждалось десять раз но почему-то всегда находятся любители не соглашаться. Как будто если они позволят себе согласиться, солнце взорвётся.

[Mikhail_K]

Sicker в сообщении #1474819 писал(а):

Ой, точно! Я это и хотел сказать

Почему же тогда Вы пишете как контраргумент

Sicker в сообщении #1474798 писал(а):

Например, ложно утверждение - пустое множество одновременно и непустое множество

?
Утверждение "пустое множество является непустым множеством", очевидно, ложно. Но его и нельзя записать в виде $\forall x\in\varnothing,\,P(x)$.

[Sicker]

Mikhail_K в сообщении #1474818 писал(а):

верно любое утверждение вида $\forall x\in\varnothing,\,P(x)$.
Конечно, точно так же верно и любое утверждение вида $\forall x\in\varnothing,\,\text{НЕ}\,P(x)$.
Но эти два утверждения друг другу никак не противоречат!
Потому что отрицанием для первого утверждения $\forall x\in\varnothing, P(x)$ служит вовсе не второе утверждение, а вот какое: $\exists x\in\varnothing:\,\text{НЕ}\,P(x)$. Оно очевидно ложно, как и должно быть.

Согласен, просто я считаю

Mikhail_K в сообщении #1474818 писал(а):

$\forall x\in\varnothing,\,\text{НЕ}\,P(x)$.

частным случаем

Mikhail_K в сообщении #1474818 писал(а):

$\exists x\in\varnothing:\,\text{НЕ}\,P(x)$

Это не так? В случае непустых множеств это так

[arseniiv]

Это не так именно из-за пустоты и кстати выше замечалось, хоть и другим языком, george66 на первой странице.

-- Пн июл 20, 2020 03:40:11 --

Чтобы поправить интуицию, рассмотрите чему могут быть равна конъюнкция и дизъюнкция нуля аргументов. Хинт: если операция ассоциативна, она может быть распространена на конечные непустые списки аргументов, и на пустой если у неё есть нейтральный элемент. Плюс: если мы знаем, что $X = \{x_1,\ldots,x_n\}$, то $\forall x\in X.\;\varphi(x)$ эквивалентно $\varphi(x_1)\wedge\ldots\wedge\varphi(x_n)$ и аналогично с ${\exists},{\vee}$.

-- Пн июл 20, 2020 03:41:37 --

And this is really basic stuff. Вам стоило всё же сначала почитать или перевывести, а лишь потом ломиться в стену, которой нет.

-- Пн июл 20, 2020 03:43:04 --

…и если вы определите пустые конъюнкцию и дизъюнкцию неправильно, вы сломаете всё.

[mihaild]

Sicker в сообщении #1474822 писал(а):

Это не так? В случае непустых множеств это так

Нет, это не так. Для непустого $X$ - $\forall x \in X: P(x)$ влечет $\exists x\in X: P(x)$, для пустого - не влечет.

Sicker в сообщении #1474805 писал(а):

что любое утверждение о пустом множестве истинно?

Путать множество с его элементами нехорошо.

[Sicker]

arseniiv в сообщении #1474820 писал(а):

Посмотрел и не вижу чем это пример. Тема старая, уровень какой-то не очень высокий к тому же.

Это пример против вашего

arseniiv в сообщении #1474742 писал(а):

Негодование, во дела, где были мои глаза.

arseniiv в сообщении #1474820 писал(а):

Я надеюсь сейчас и здесь никто не станет отрицать существование пустой функции.

Ну спросим Brukvalub и swedka. Считает ли он, что уважаемые arseniiv и mihaild

Цитата:

дурят простого мужика, ох дурят... Фокусничают, понимаешь, с пустыми множествами и формализмом своим, будь он трижды неладен, смысл у бессмысленных выражений выискивают. Неужто это им и вправду душу греет?

Mikhail_K в сообщении #1474821 писал(а):

Утверждение "пустое множество является непустым множеством", очевидно, ложно. Но его и нельзя записать в виде $\forall x\in\varnothing,\,P(x)$.

Да, мы тут заговорились

arseniiv в сообщении #1474824 писал(а):

Это не так именно из-за пустоты и кстати выше замечалось, хоть и другим языком, george66 на первой странице.

Точно

arseniiv в сообщении #1474824 писал(а):

Чтобы поправить интуицию, рассмотрите чему могут быть равна конъюнкция и дизъюнкция нуля аргументов

Конъюнкция единице, дизъюнкция нулю

arseniiv в сообщении #1474824 писал(а):

Плюс: если мы знаем, что $X = \{x_1,\ldots,x_n\}$, то $\forall x\in X.\;\varphi(x)$ эквивалентно $\varphi(x_1)\wedge\ldots\wedge\varphi(x_n)$ и аналогично с ${\exists},{\vee}$.

Понял (я так тоже думал)

arseniiv в сообщении #1474824 писал(а):

…и если вы определите пустые конъюнкцию и дизъюнкцию неправильно, вы сломаете всё.

Что все?

-- 20.07.2020, 01:56 --

Кстати, можете доказать, почему пересечение пустого семейства множеств есть класс всех множеств?

[Mikhail_K]

Sicker в сообщении #1474822 писал(а):

Согласен, просто я считаю

Mikhail_K в сообщении #1474818 писал(а):

$\forall x\in\varnothing,\,\text{НЕ}\,P(x)$.

частным случаем

Mikhail_K в сообщении #1474818 писал(а):

$\exists x\in\varnothing:\,\text{НЕ}\,P(x)$

Это не так? В случае непустых множеств это так

Да, это не так. Да, для непустых множеств это так, что не означает, что то же самое должно быть для пустого множества. Ну, Вы просто неверно считаете.

Вот немного похожая ситуация. Рассмотрим отображение $f:\,\{0\}\cup[1,2]\to\mathbb{R}$, заданное формулами $f(0)=0$ и $f(x)=1$ при $x\in[1,2]$ (например, будем рассматривать его как отображение метрических пространств со стандартной метрикой). График такой функции будет состоять из точки и отрезка. Представили его?
А теперь вопрос: точка $x=0$ - это точка непрерывности или точка разрыва для отображения $f$?
Глядя на график, может прийти в голову, что это точка разрыва, или что вопрос не имеет смысла. Тем не менее, ответ тут однозначен: это точка непрерывности. При любом разумном определении непрерывности получается именно так.

Так же и с пустым множеством: если считать вопрос об истинности утверждений вида $\forall x\in\varnothing,\,P(x)$ бессмысленным, или отвечать на него отрицательно - то ничего хорошего из этого не получится, только куча лишних ненужных оговорок в разных местах, которых можно было бы избежать.

А вот например, с вопросом "чему равно $0^0$" ситуация другая. Есть причины отвечать, что $0^0=1$, но есть и причины отвечать, что $0^0$ не определено. Иногда бывает удобно так, иногда иначе. Вопрос с пустым множеством и вопрос с непрерывностью в изолированной точке не таковы: отвечая на них "неправильно" или отказываясь на них отвечать, мы не получим совершенно никакого выигрыша, только усложним себе жизнь в ряде вопросов. А что наша интуиция в этих вопросах нам не помощник - так ведь она и вообще во многих вопросах ведёт не туда.

[arseniiv]

Sicker в сообщении #1474832 писал(а):

Это пример против вашего

arseniiv в сообщении #1474742 писал(а):

Негодование, во дела, где были мои глаза.

Да понял. Но это я бы не назвал «негодованием математиков». Это придирки без должного обдумывания придираемого. К чему увы склонны хоть математики, хоть кто. Не пример хорошей такой аргументированной позиции. Кстати там ссылались на раздел страницы на англовике, который с тех пор стал отдельной страницей и показывает, что упорствовать вообще не в чем даже изначально (если мы не хотим ровно так же начать бороться о том, что такое функция, должна ли она задаваться формулой и пр. как в споре кого-то и Фурье исторически немногим позже начала «проблемы» $0^0$).

Sicker в сообщении #1474832 писал(а):

Конъюнкция единице, дизъюнкция нулю

Можете же.

Sicker в сообщении #1474832 писал(а):

Что все?

Это неопределяемое понятие.

Sicker в сообщении #1474832 писал(а):

Кстати, можете доказать, почему пересечение пустого семейства множеств есть класс всех множеств?

На идейном уровне это двойственно пустоте объединения пустого семейства множеств. Правда идей мало. Если мы в ZFC, сначала надо доопределить операции на классы, которых язык теории не разумеет. Если в NBG, классы там уже родные. А вот в хитрых теориях множеств ваше утверждение может вполне наверно быть и неверным — и лишь когда для них определяемы «классы» вообще.

-- Пн июл 20, 2020 05:11:05 --

Mikhail_K в сообщении #1474834 писал(а):

но есть и причины отвечать, что $0^0$ не определено

Есть наверно методические причины говорить о «неопределённости вида $0^0$», но она не связана с выражением $0^0$. Это просто пример таких значений $x, y$, когда для $f\to x, g\to y$ предел $f^g$ не в любом случае равен $x^y$, но ничего здесь не сломается, если $x^y$ определено из любых возможных соображений, и вот соображения насчёт определения $0^0$ нулём или каким-то ещё числом кроме 1 я не помню.

Во времена Коши ещё можно понять неустоявшиеся понятия и сомнения, но с тех пор прошло столько времени! Это два отдельных ящика, если не один ящик, и до Коши никаких сомнений у математического сообщества даже не было (ну, как нам пишут по ссылке). Кстати у того же Зорича в книге по матанализу я не нашёл вхождений слова «неопределённость» (глазами — полнотекстовой поиск в имеющемся экземпляре не работает, так что оно могло спрятаться…).

[Евгений Машеров]

alisa-lebovski в сообщении #1474325 писал(а):

Да, это парадоксально, потому что в общем случае максимум надо положить равным минус бесконечности, а минимум - плюс бесконечности.

Причём как бы ни парадоксально это казалось глубокому мыслителю, простой тупой программер делает это и не волнуется ;)