На сколько частей двумерная сфера делится плоскостями

[vadimm]

svv в сообщении #1474669 писал(а):

Тогда просто подтвердите, что теперь с этим всё понятно.

Пытался еще раз осознать. Вроде так. Спасибо. С тем, что при добавлении $n$-й плоскости добавляется $2(n-1)$ частей к существующему до этого количеству частей, стало более понятнее. Из той логики, которая была изложена раньше. Насколько я этот момент глубоко понял не знаю. Но может там и нет ничего такого глубоко. Просто добавляется новая окружность. Эта окружность будет иметь точки пересечения со всеми существующими на сфере окружностями (по условию задачи, иначе не было бы общего центра). Наподобие картинки логотипа dxdy. Итак, одна точка пересечения это одна новая часть сферы. Вторая точка пересечения это еще одна новая часть и т.д. Ну а теперь же нужно прийти к общей формуле?

[svv]

svv в сообщении #1474741 писал(а):

Итак, одна точка пересечения это одна новая часть сферы. Вторая точка пересечения это еще одна новая часть и т.д.

Да. Просто потому что за каждой точкой встречи новой окружности со старой идёт новая разрезаемая часть. И её разрезание увеличивает на 1 число частей.
Следовательно, сколько пересечений новой окружности со старыми, столько добавится частей.

vadimm в сообщении #1474731 писал(а):

Ну а теперь же нужно прийти к общей формуле?

Да. Пусть сначала есть только одна окружность, она делит сферу на $2$ части.
Теперь я последовательно добавляю ещё $14$ окружностей. Все вместе они добавят к уже имеющимся $2$ частям такое количество частей:
$2+4+6+8+10+12+14+16+18+20+22+24+26+28$
Верно?
Как назвать такую сумму? Есть способ найти её проще, чем последовательно прибавляя слагаемые?

[vadimm]

Верно. Это сумма членов арифметической прогрессии с разностью два. Подождите. Здесь вроде сумма идет со второго члена.

[svv]

Да, первоначальные $2$ части выпадают из общего правила, это надо учесть.

[vadimm]

То есть получается $2 + S_{n}$.

$S_{n} = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2}n=\frac{4 + 2(n-1)}{2}n=2n+n(n-1)=n^2+n$. В итоге $2 + S_{n} = n^2+n+2$. Верно? Или там другая формула $S_n$?

[svv]

В моём примере выше всего окружностей было $15$, но суммировалось $14$ членов прогрессии (как я сказал, вклад первой окружности учитывается отдельно).
То есть то $n$, которое в формуле для суммы прогрессии, может не совпадать с $n$ — числом окружностей.

[vadimm]

Вклад первой окружности - это две части. Верно? К этому нужно прибавить сумму членов прогрессии, начиная от первого до $(n-1)$, в формуле вместо $n$ будет $(n-1)$?

[svv]

Да, в качестве $n$ надо подставить $n-1$.
Ещё полезна такая формула для суммы арифметической прогрессии:

$$\dfrac{(\text{первый член}+\text{последний член})\cdot \text{число членов}}{2}$$

Часто (и сейчас тоже) она удобнее: $\dfrac{(2+2n-2)(n-1)}{2}=n(n-1)$

[vadimm]

Спасибо. Я просто уж взял $(n-1)$ и подставил вместо $n$ в выражение $n^2+n$. Теперь я убедился, почему все-таки число частей получается $n^2-n+2$.
Это было здорово!