Итак, одна точка пересечения это одна новая часть сферы. Вторая точка пересечения это еще одна новая часть и т.д.
Да. Просто потому что за каждой точкой встречи новой окружности со старой идёт новая разрезаемая часть. И её разрезание увеличивает на 1 число частей.
Следовательно, сколько пересечений новой окружности со старыми, столько добавится частей.
Ну а теперь же нужно прийти к общей формуле?
Да. Пусть сначала есть только одна окружность, она делит сферу на

части.
Теперь я последовательно добавляю ещё

окружностей. Все вместе они добавят к уже имеющимся

частям такое количество частей:

Верно?
Как назвать такую сумму? Есть способ найти её проще, чем последовательно прибавляя слагаемые?