2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Найти параметры, при которых квадратурная формула точна
Сообщение19.07.2020, 02:05 


21/12/16
73
Найти набор параметров $\theta_k \in [0,1]$, $k=1,\ldots, N$, при которых квадратурная формула
$$ I_h = \limits\sum_{k=1}^N f(\theta_k x_k + (1-\theta_k)x_{k-1})(x_k - x_{k-1}), \,\, a = x_0 < x_1 < \ldots < x_{N-1} < x_N = b$$ для вычисления интеграла $\limits\int_a^b f(x)\,dx$ точна для произвольной функции из семейства $f(x) = \alpha x^3 + \beta, \,\, \alpha, \beta - \operatorname{const}$

Абсолютно не понимаю, что тут делать. Пытался получить СЛАУ, но сами теты появлялись со степенями, и тогда вообще непонятно как быть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти параметры, при которых квадратурная формула точна
Сообщение19.07.2020, 06:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Так это ж двухточечная формула, если только на ночь глядя я всё правильно вижу, и, соответственно, не догоняю, почему нельзя не тащить всю сумму, рассматривая только один интеграл
$$
\int \limits_p^q f(t) \ \mathrm dt = f(\theta q + (1 - \theta) p ) (q - p)
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти параметры, при которых квадратурная формула точна
Сообщение19.07.2020, 06:44 
Заслуженный участник


20/12/10
9179
Из-за линейности и интеграла, и квадратурной суммы Вам фактически нужно, чтобы формула была точна всего лишь на двух функциях (каких?). Далее попробуйте воспользоваться теоремой о среднем для интеграла, имея в виду замечание StaticZero.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти параметры, при которых квадратурная формула точна
Сообщение19.07.2020, 12:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1813
Москва
В общем, надо решать на каждом отрезке $[x_{k-1},x_k]$, и не возводить выражение с $\theta_k$ в степень, а наоборот, приравнивать его корню из другой части равенства.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти параметры, при которых квадратурная формула точна
Сообщение19.07.2020, 17:31 


21/12/16
73
nnosipov, учитывая ещё сообщение alisa-lebovski буду рассматривать на сегменте $[x_{k-1}, x_k]$

Как я понимаю, в силу линейности нужно, чтобы квадратурная формула была точна на $x^3$ и на единице? Теорема о среднем для интеграла: найдётся $\xi \in (x_{k-1}, x_k)$ такое, что $$\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f(x)\,dx = f'(\xi)(x_k - x_{k-1})$$

Пусть $f(x) = x^3$, тогда приходим к выражению
$$\frac{1}{4}(x_k^4 - x_{k-1}^4) = 3\xi^2(x_k - x_{k-1})$$

После некоторых преобразований можно получить
$$\frac{1}{12}(x_k^3 + x_k^2 x_{k-1} + x_k x_{k-1}^2 + x_{k-1}^3)(x_k - x_{k-1}) = \xi^2(x_k - x_{k-1})$$

Тогда $\xi = \frac{1}{2\sqrt{3}}(x_k^3 + x_k^2 x_{k-1} + x_k x_{k-1}^2 + x_{k-1}^3)^{1/2}$. Но я всё равно не понимаю, что делать дальше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти параметры, при которых квадратурная формула точна
Сообщение19.07.2020, 17:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
ioleg19029700, если чо, любую функцию можно безболезненно на $[0, 1]$ интегрировать через линейную замену

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти параметры, при которых квадратурная формула точна
Сообщение19.07.2020, 18:10 


21/12/16
73
StaticZero

То есть рассматриваемый на сегменте интеграл перевести в $[0,1]$? Но ведь это же ничего не поменяет в итоговых формулах.
$$\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f(x)\,dx = \left\{x = t\cdot x_{k} + (1-t)\cdot x_{k-1}\right\} = (x_k - x_{k-1}) \int\limits_0^1 f(t\cdot x_{k} + (1-t)\cdot x_{k-1}) \, dt$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти параметры, при которых квадратурная формула точна
Сообщение19.07.2020, 18:50 
Заслуженный участник


20/12/10
9179
ioleg19029700 в сообщении #1474536 писал(а):
Как я понимаю, в силу линейности нужно, чтобы квадратурная формула была точна на $x^3$ и на единице?
Да, именно так.
ioleg19029700 в сообщении #1474536 писал(а):
Теорема о среднем для интеграла: найдётся $\xi \in (x_{k-1}, x_k)$ такое, что $$\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f(x)\,dx = f'(\xi)(x_k - x_{k-1})$$
Производная --- это в формуле Лагранжа (конечных приращений). А здесь должна быть не $f'(\xi)$, а ... что?
ioleg19029700 в сообщении #1474536 писал(а):
Тогда $\xi = \frac{1}{2\sqrt{3}}(x_k^3 + x_k^2 x_{k-1} + x_k x_{k-1}^2 + x_{k-1}^3)^{1/2}$. Но я всё равно не понимаю, что делать дальше.
Сначала написать правильную формулу для $\xi$ (с учетом сказанного выше). А затем искать $\theta_k$, соответствующую найденной точке $\xi \in [x_{k-1},x_k]$. При этом $\xi$ лучше переобозначить как $\xi_k$, ведь для каждого отрезка $[x_{k-1},x_k]$ точка $\xi$ своя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти параметры, при которых квадратурная формула точна
Сообщение19.07.2020, 19:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1813
Москва
И $\xi_k=\theta_kx_k+(1-\theta_k)x_{k-1}$, отсюда и находится $\theta_k$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти параметры, при которых квадратурная формула точна
Сообщение19.07.2020, 19:46 


21/12/16
73
nnosipov

Да, точно, виноват. В теореме о среднем для интеграла нужно значение самой функции, а не её производной. Тогда получим:
$$\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f(x)\,dx = f(\xi_k)(x_k - x_{k-1})$$

При $f(x) = x^3$ получим, $\xi_k^3(x_k - x_{k-1})$, теперь приравниваем к квадратурной формуле, но в силу линейности рассматриваем только на сегменте $[x_{k-1}, x_k]$. Тогда

$$(\theta_k x_k + (1-\theta_k)x_{k-1})^3(x_k - x_{k-1}) = \xi_k^3(x_k - x_{k-1}) = \frac{1}{4}(x_k^4 - x_{k-1}^4)$$

Тогда из левого равенства, как уже написала alisa-lebovski, получим $\xi_k = \theta_k x_k + (1-\theta_k) x_{k-1}$, поэтому $\theta_k = \frac{\xi_k - x_{k-1}}{x_k - x_{k-1}}$

А из правого равенства найдём само $\xi_k = \frac{1}{\sqrt[3]{4}}(x_k^3 + x_k^2x_{k-1} + x_k x_{k-1}^2 + x_{k-1}^3 )^{1/3}$

Для константы 1 квадратурная формула тоже верна. Спасибо всем за помощь!

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти параметры, при которых квадратурная формула точна
Сообщение20.07.2020, 00:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
ioleg19029700, да, верно. Я тут зря вас сбить пытался, простите. Я надеялся, что из рассмотрения промежутка (и вообще, там должно быть $[-1, 1]$) можно получить разные красивые вещи в качестве бонуса.

Обычно, конечно, под квадратурной формулой имеют в виду формулу с постоянными коэффициентами. Она не претерпевает изменений при переразбиении интервалов. В вашем случае, если сетка равномерная, то $x_n = x_{n - 1} + h$, откуда

$$
\xi_n = \frac{1}{\sqrt[3]{4}} \left(4 x^3_{n-1} + 6 x^2_{n-1} h + 4 x_{n-1} h^2 + h^3 \right)^{\!1/3} = x_{n-1} \left( 1 + \frac{3 h}{2 x_{n-1}} + \mathrm o(h) \right)^{\!1/3} = x_{n-1} + x_{n-1} \frac{h}{2 x_{n-1}} + \mathrm o(h),
$$
и ваши $\theta_k \approx \frac{1}{2}$, поэтому на достаточно мелкой равномерной сетке это метод такой же, как и средних прямоугольников, и точность у него соответствующая.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group