Найти параметры, при которых квадратурная формула точна

[ioleg19029700]

Найти набор параметров $\theta_k \in [0,1]$, $k=1,\ldots, N$, при которых квадратурная формула

$$ I_h = \limits\sum_{k=1}^N f(\theta_k x_k + (1-\theta_k)x_{k-1})(x_k - x_{k-1}), \,\, a = x_0 < x_1 < \ldots < x_{N-1} < x_N = b$$

для вычисления интеграла $\limits\int_a^b f(x)\,dx$ точна для произвольной функции из семейства $f(x) = \alpha x^3 + \beta, \,\, \alpha, \beta - \operatorname{const}$

Абсолютно не понимаю, что тут делать. Пытался получить СЛАУ, но сами теты появлялись со степенями, и тогда вообще непонятно как быть.

[StaticZero]

Так это ж двухточечная формула, если только на ночь глядя я всё правильно вижу, и, соответственно, не догоняю, почему нельзя не тащить всю сумму, рассматривая только один интеграл

$$ \int \limits_p^q f(t) \ \mathrm dt = f(\theta q + (1 - \theta) p ) (q - p) $$

[nnosipov]

Из-за линейности и интеграла, и квадратурной суммы Вам фактически нужно, чтобы формула была точна всего лишь на двух функциях (каких?). Далее попробуйте воспользоваться теоремой о среднем для интеграла, имея в виду замечание StaticZero.

[alisa-lebovski]

В общем, надо решать на каждом отрезке $[x_{k-1},x_k]$, и не возводить выражение с $\theta_k$ в степень, а наоборот, приравнивать его корню из другой части равенства.

[ioleg19029700]

nnosipov, учитывая ещё сообщение alisa-lebovski буду рассматривать на сегменте $[x_{k-1}, x_k]$

Как я понимаю, в силу линейности нужно, чтобы квадратурная формула была точна на $x^3$ и на единице? Теорема о среднем для интеграла: найдётся $\xi \in (x_{k-1}, x_k)$ такое, что

$$\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f(x)\,dx = f'(\xi)(x_k - x_{k-1})$$

Пусть $f(x) = x^3$, тогда приходим к выражению

$$\frac{1}{4}(x_k^4 - x_{k-1}^4) = 3\xi^2(x_k - x_{k-1})$$

После некоторых преобразований можно получить

$$\frac{1}{12}(x_k^3 + x_k^2 x_{k-1} + x_k x_{k-1}^2 + x_{k-1}^3)(x_k - x_{k-1}) = \xi^2(x_k - x_{k-1})$$

Тогда $\xi = \frac{1}{2\sqrt{3}}(x_k^3 + x_k^2 x_{k-1} + x_k x_{k-1}^2 + x_{k-1}^3)^{1/2}$. Но я всё равно не понимаю, что делать дальше.

[StaticZero]

ioleg19029700, если чо, любую функцию можно безболезненно на $[0, 1]$ интегрировать через линейную замену

[ioleg19029700]

StaticZero

То есть рассматриваемый на сегменте интеграл перевести в $[0,1]$? Но ведь это же ничего не поменяет в итоговых формулах.

$$\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f(x)\,dx = \left\{x = t\cdot x_{k} + (1-t)\cdot x_{k-1}\right\} = (x_k - x_{k-1}) \int\limits_0^1 f(t\cdot x_{k} + (1-t)\cdot x_{k-1}) \, dt$$

[nnosipov]

ioleg19029700 в сообщении #1474536 писал(а):

Как я понимаю, в силу линейности нужно, чтобы квадратурная формула была точна на $x^3$ и на единице?

Да, именно так.

ioleg19029700 в сообщении #1474536 писал(а):

Теорема о среднем для интеграла: найдётся $\xi \in (x_{k-1}, x_k)$ такое, что

$$\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f(x)\,dx = f'(\xi)(x_k - x_{k-1})$$

Производная --- это в формуле Лагранжа (конечных приращений). А здесь должна быть не $f'(\xi)$, а ... что?

ioleg19029700 в сообщении #1474536 писал(а):

Тогда $\xi = \frac{1}{2\sqrt{3}}(x_k^3 + x_k^2 x_{k-1} + x_k x_{k-1}^2 + x_{k-1}^3)^{1/2}$. Но я всё равно не понимаю, что делать дальше.

Сначала написать правильную формулу для $\xi$ (с учетом сказанного выше). А затем искать $\theta_k$, соответствующую найденной точке $\xi \in [x_{k-1},x_k]$. При этом $\xi$ лучше переобозначить как $\xi_k$, ведь для каждого отрезка $[x_{k-1},x_k]$ точка $\xi$ своя.

[alisa-lebovski]

И $\xi_k=\theta_kx_k+(1-\theta_k)x_{k-1}$, отсюда и находится $\theta_k$.

[ioleg19029700]

nnosipov

Да, точно, виноват. В теореме о среднем для интеграла нужно значение самой функции, а не её производной. Тогда получим:

$$\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f(x)\,dx = f(\xi_k)(x_k - x_{k-1})$$

При $f(x) = x^3$ получим, $\xi_k^3(x_k - x_{k-1})$, теперь приравниваем к квадратурной формуле, но в силу линейности рассматриваем только на сегменте $[x_{k-1}, x_k]$. Тогда

$$(\theta_k x_k + (1-\theta_k)x_{k-1})^3(x_k - x_{k-1}) = \xi_k^3(x_k - x_{k-1}) = \frac{1}{4}(x_k^4 - x_{k-1}^4)$$

Тогда из левого равенства, как уже написала alisa-lebovski, получим $\xi_k = \theta_k x_k + (1-\theta_k) x_{k-1}$, поэтому $\theta_k = \frac{\xi_k - x_{k-1}}{x_k - x_{k-1}}$

А из правого равенства найдём само $\xi_k = \frac{1}{\sqrt[3]{4}}(x_k^3 + x_k^2x_{k-1} + x_k x_{k-1}^2 + x_{k-1}^3 )^{1/3}$

Для константы 1 квадратурная формула тоже верна. Спасибо всем за помощь!

[StaticZero]

ioleg19029700, да, верно. Я тут зря вас сбить пытался, простите. Я надеялся, что из рассмотрения промежутка (и вообще, там должно быть $[-1, 1]$) можно получить разные красивые вещи в качестве бонуса.

Обычно, конечно, под квадратурной формулой имеют в виду формулу с постоянными коэффициентами. Она не претерпевает изменений при переразбиении интервалов. В вашем случае, если сетка равномерная, то $x_n = x_{n - 1} + h$, откуда

$$ \xi_n = \frac{1}{\sqrt[3]{4}} \left(4 x^3_{n-1} + 6 x^2_{n-1} h + 4 x_{n-1} h^2 + h^3 \right)^{\!1/3} = x_{n-1} \left( 1 + \frac{3 h}{2 x_{n-1}} + \mathrm o(h) \right)^{\!1/3} = x_{n-1} + x_{n-1} \frac{h}{2 x_{n-1}} + \mathrm o(h), $$

и ваши $\theta_k \approx \frac{1}{2}$, поэтому на достаточно мелкой равномерной сетке это метод такой же, как и средних прямоугольников, и точность у него соответствующая.