Скорость сходимости

[Женисбек]

$S_1(x)=x-[x]-\frac 12$, где $[x]$ - целая часть $x\in\mathbb{R}$.
$\phi(x)=\frac 1{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}$
$|x_n-a|\le \frac C{\sqrt n}$

Можно ли показать, что
$S_1(\sqrt nx_n+\frac n2)\phi(x_n)-S_1(\sqrt na+\frac n2)\phi(a)=O\left(\frac 1{\sqrt n}\right)$
?