Функция распределения случайных величин

[pandemodeus]

Здравствуйте!
Встретил утверждение, которое никак не могу осознать.
Пусть даны 2 независимые случайные величины:$\xi$ и $\eta$ с функциями распределения $F(x)$ и $G(x)$ соответственно. Из данных генеральных совокупностей сделали выборки $X_{[n]}$ и $Y_{[m]}$. Утверждается, что если $F(x) \ge G(x) \forall x \in \mathbb{R}$, то элементы выборки $X_{[n]}$ в среднем будут меньше, чем элементы выборки $Y_{[m]}$. Что-то не могу до конца это понять.
Думаю, что это может следовать из условия нормализации плотности. Или я ошибаюсь?

[mihaild]

Что-то странное. Давайте возьмем $\xi \equiv 1$ и $\eta \equiv 0$. Условие на функции распределения выполняется, а среднее $X$ больше...
UPD: бред написан.

[Otta]

mihaild в сообщении #1473685 писал(а):

Условие на функции распределения выполняется,

Разве?

-- 14.07.2020, 19:02 --

pandemodeus
А что такое "в среднем меньше"? Утверждение где встретили, можете источник указать?

[pandemodeus]

mihaild в сообщении #1473685 писал(а):

Что-то странное. Давайте возьмем $\xi \equiv 1$ и $\eta \equiv 0$. Условие на функции распределения выполняется, а среднее $X$ больше...

Так на интервале (0,1) $G(x)>F(x)$

-- 14.07.2020, 17:12 --

Otta в сообщении #1473695 писал(а):

А что такое "в среднем меньше"? Утверждение где встретили, можете источник указать?

Я прохожу онлайн курс на stepik.org. Конкретно сейчас изучаю критерий Уилкоксона. Там статистика критерия основана на ранжировании элементов выборки. В качестве обоснования такого подхода утверждается, что если $F(x) \ge G(x) \forall x \in \mathbb{R}$, то элементы выборки из $Y_{[m]}$ будут в среднем больше, чем элементы из $X_{[n]}$, таким образом они будут расположены в правой части вариационного ряда, составленного из элементов обеих выборок

[Otta]

pandemodeus
Вы на вопрос не ответили. Определение хочется авторское.

[pandemodeus]

Otta в сообщении #1473707 писал(а):

pandemodeus
Вы на вопрос не ответили. Определение хочется авторское.

Там не уточняется, что конкретно под этим понимается.
Вот прям точная цитата автора курса: "Если функция $F(x)$ принимает значения не меньшие, чем $G(x)$, в этом случае элементы выборки $X$ будут принимать значения меньшие, чем элементы выборки $Y$".

[Otta]

pandemodeus
Непонятно. Пусть первая выборка - из нормального распределения с параметрами $(0,1)$. Вторая - из $N(1,1)$. Может ли реализация первой выборки оказаться больше реализации второй? Да запросто.

Оставьте ссылку, пожалуйста, может, будет яснее. Если оно в общем доступе, конечно. Ну или кто-то поймет быстрее меня.

[pandemodeus]

Otta
https://stepik.org/lesson/26283/step/3?unit=8171
Вот ссылка на видео лекции. То, о чем я спрашивал, начинается на 2:30

[adfg]

думаю, это может следовать из формулы интегрирования по частям. Например в дискретном случае кажется должно выполняться что-то вроде этого:
$EX=\sum\limits_{n}^{}P(X>n)$.
В непрерывном случае это может следовать из формулы интегрирования по частям, поскольку значения на нижнем/верхнем пределе у обеих функций распределения совпадают, более точную формулировку выдумывать лень

[Otta]

pandemodeus
Там только после регистрации.
Я почитала Боровкова, не нашла ничего похожего с таким утверждением в критерии Уилкоксона.

[Евгений Машеров]

Прежде всего - средние в критерии Уилкоксона вообще не используются. То есть в каком смысле автор употребил "в среднем" неясно, похоже, вообще "в бытовом".
По определению функции распределения - если $F(x) \ge G(x) \forall x \in \mathbb{R}$, то для каждого x вероятность, что случайная величина с распределением F(x) будет меньше x, выше не ниже вероятности того, что случайная величина с распределением G(x) будет меньше x. Возможно, имелось в виду именно это.
Что до средних в смысле матожиданий - можно записать $F(x)=G(x)+q(x), q(x)\ge 0, q(-\infty)=0, q(+\infty)=0$, записать матожидания обеих величин, выразить разность через интеграл $\int_{-\infty}^{+\infty} x dq$, проинтегрировать по частям $\int_{-\infty}^{+\infty} x dq = qx{\bigg |}_{-\infty}^{+\infty}-\int_{-\infty}^{+\infty} q dx$ и аккуратно показать, что первое слагаемое это $0-0=0$. Но как аккуратно показать, что при стремлении к бесконечности q(x) убывает быстрее, чем $\frac 1 x$ - не знаю.

[Otta]

Евгений Машеров в сообщении #1473868 писал(а):

Но как аккуратно показать, что при стремлении к бесконечности q(x) убывает быстрее, чем $\frac 1 x$ - не знаю.

Да никак, матожидание вообще не обязано существовать. Но даже если они (м/о) есть, то выражать разность интегралов Лебега-Стилтьеса через интеграл $\int_{-\infty}^{+\infty} x dq$ не слишком хорошая идея, поскольку $q$ - заряд, а интегралы по заряду по определению надобно сперва представить в виде разности интегралов Л-С, то есть сделать шаг назад.

[alisa-lebovski]

Если построить случайные величины с заданными функциями распределения на одном вероятностном пространстве, применяя обратные функции распределения к одной равномерно распределенной на $[0,1]$ случайной величине, то эти две случайные величины получатся в нужном соотношении, следовательно, и их математические ожидания (если они существуют) тоже в нужном соотношении. Но поскольку математические ожидания не зависят от построения, значит, это верно и вообще. Интегрированием по частям тоже можно доказать - есть формула, выражающая математическое ожидание чисто через функцию распределения:

$$M\xi=-\int_{-\infty}^0F(x)\,dx+\int_0^{+\infty}(1-F(x))\,dx.$$

[Otta]

У, какая красивая формула. То есть имелось в виду именно сравнение средних, выходит.

[alisa-lebovski]

При одинаковом объеме выборок можно утверждать и то, что математические ожидания (если они существуют) соответствующих порядковых статистик будут находиться в таком же соотношении (проще всего это доказывается построением на одном вероятностном пространстве).