3. Для пространственноподобных геодезических можно получить уравнение

Выберем начальную точку

. Достаточно изучить правую часть геодезической (

). В начальной точке (да и дальше тоже)

. Из уравнения видно, что допустимы только значения

.
a) Пусть в начальной точке

, тогда

. Геодезическая поднимается в область всё больших

, и

растёт. Из уравнения видно, что при этом

уменьшается, т.е. подъём замедляется. Геодезическая не может подниматься неограниченно, потому что когда

достигнет значения

, будет

, и подъём прекратится. Что будет дальше, я опишу ниже.
b) Пусть в начальной точке

, тогда

. Геодезическая опускается в область всё меньших

, и

убывает. Из уравнения видно, что при этом

становится всё более отрицательным, т.е. спуск ускоряется. Геодезическая может достигать любых

, но так как

ограничена снизу, то и скорость спуска

ограничена.
c) Уравнение

не описывает корректно, что происходит при

. Правая часть равна нулю, тогда

, и можно сделать неверный вывод, что так можно получить "горизонтальную" геодезическую

. На самом деле нет. Уравнение у нас корявое, потому что получено в предположении, что

независимая переменная, и производная

существует.
А вот из уравнения геодезических в нашем случае получается

(тут

, то есть подогнано под пространственноподобный случай)
Второе слагаемое в левой части положительно, тогда первое отрицательно. А это означает, что геодезическая, поднявшись до верхней точки,
не может остаться в ней, а начинает опускаться. При этом в нашем формализме происходит переключение

с положительного на отрицательное. Иными словами, a), c) и b) — последовательные этапы жизненного пути одной геодезической.