Поведение геодезических

[Утундрий]

Дана метрика $ds^2 = a(t)^2 \left( {dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2 } \right)$, где $a(t)$ - некоторая положительная, монотонная и неограниченно возрастающая функция своего аргумента.

Качественно опишите поведение времени-подобных, изотропных и пространственно-подобных геодезических метрики при $t \to + \infty $.

[svv]

Пусть $x_1,x_2,x_3$ — другие обозначения для $x,y,z$. Удобно считать $t$ независимой переменной. Точка — производная по $t$.
Вдоль геодезической сохраняется величина $g_{ik}\frac{dx^i}{d\lambda}\frac{dx^k}{d\lambda}$, где $\lambda$ — аффинный параметр. Т.е. если в какой-то точке геодезическая времени-(свето-, пространственно-)подобна, она будет такой на всём протяжении.

1. Начнём с времениподобных. Из $\delta\int ds=\delta\int a(t)\sqrt{1-\dot x_1^2-\dot x_2^2-\dot x_3^2}\;dt=0$ получаются уравнения Эйлера-Лагранжа
$\dfrac d{dt}\left(\dfrac{a\dot x_i}{\sqrt{1-\dot x_1^2-\dot x_2^2-\dot x_3^2}}\right)=0$,
откуда
$\dot x_i=\dfrac{C_i}{\sqrt{a^2+C_1^2+C_2^2+C_3^2}}\,,\quad C_i=\operatorname{const}$

Пространственным поворотом системы координат можно добиться $\dot x_2=\dot x_3=0$ в некоторый момент времени, а следовательно, и в любой (потому что тогда $C_2=C_3=0$). Дополнительным сдвигом можно обеспечить $x_2=x_3=0$ и не рассматривать эти координаты вовсе. (Сохранение пространственного направления геодезической очевидно и из того, что пространственная часть метрики сферически симметрична.) Итак,
$\dot x=\dfrac{C}{\sqrt{a^2+C^2}}$

Значению $C=0$ соответствует геодезическая $x=\operatorname{const}$. При $C\neq 0$ получим, что $\dot x$ с ростом $t$ монотонно стремится к $0$, не достигая его.
Если функция $a(t)$ растёт достаточно быстро (например, $a(t)=e^t$), предел $x(t)$ при $t\to\infty$ будет конечным, если не слишком быстро — бесконечным.

2. Про изотропные геодезические не знаю, что ещё можно сказать, кроме того, что они удовлетворяют уравнению $\frac{dx}{dt}=\pm 1$ (на 2-поверхности $x_2=x_3=0$, как выше).

[Утундрий]

svv в сообщении #1473109 писал(а):

Если функция $a(t)$ растёт достаточно быстро (например, $a(t)=e^t$), предел $x(t)$ при $t\to\infty$ будет конечным, если не слишком быстро — бесконечным.

Наверное, эту "вилку" можно связать со знаком $\ddot a$.

svv в сообщении #1473109 писал(а):

Про изотропные геодезические не знаю, что ещё можно сказать, кроме того, что они удовлетворяют уравнению $\frac{dx}{dt}=\pm 1$

Достаточно сказать, что в выбранных координатах это всевозможные прямые с "единичным наклоном".

Итак, частицы (при достаточно быстром расширении) успокаиваются, свет носится тудым-сюдым как захочет, а что там с тахионами?

[svv]

3. Для пространственноподобных геодезических можно получить уравнение
$\dfrac{dt}{dx}=\dfrac{\sqrt{C^2-a^2}}{C}\,,\quad C=\operatorname{const}$
Выберем начальную точку $(t,x)=(t_0,0)$. Достаточно изучить правую часть геодезической ($x\geqslant 0$). В начальной точке (да и дальше тоже) $\frac{dt}{dx}\in(-1,+1)$. Из уравнения видно, что допустимы только значения $|C|\geqslant a(t_0)$.

a) Пусть в начальной точке $C>a(t_0)$, тогда $\frac{dt}{dx}>0$. Геодезическая поднимается в область всё больших $t$, и $a(t)$ растёт. Из уравнения видно, что при этом $\frac{dt}{dx}$ уменьшается, т.е. подъём замедляется. Геодезическая не может подниматься неограниченно, потому что когда $a(t)$ достигнет значения $C$, будет $\frac{dt}{dx}=0$, и подъём прекратится. Что будет дальше, я опишу ниже.

b) Пусть в начальной точке $C<-a(t_0)$, тогда $\frac{dt}{dx}<0$. Геодезическая опускается в область всё меньших $t$, и $a(t)$ убывает. Из уравнения видно, что при этом $\frac{dt}{dx}$ становится всё более отрицательным, т.е. спуск ускоряется. Геодезическая может достигать любых $t<t_0$, но так как $a(t)$ ограничена снизу, то и скорость спуска $\frac{dt}{dx}$ ограничена.

c) Уравнение $\frac{dt}{dx}=\frac{\sqrt{C^2-a^2}}{C}$ не описывает корректно, что происходит при $C^2=a(t_0)^2$. Правая часть равна нулю, тогда $\frac{dt}{dx}=0$, и можно сделать неверный вывод, что так можно получить "горизонтальную" геодезическую $t=t_0$. На самом деле нет. Уравнение у нас корявое, потому что получено в предположении, что $t$ независимая переменная, и производная $\frac{dx}{dt}$ существует.

А вот из уравнения геодезических в нашем случае получается
$\dfrac{d^2 t}{ds^2}+\left(\left(\dfrac{dt}{ds}\right)^2+\left(\dfrac{dx}{ds}\right)^2\right)\dfrac{\dot a}{a}=0$
(тут $ds^2=dx^2-dt^2$, то есть подогнано под пространственноподобный случай)
Второе слагаемое в левой части положительно, тогда первое отрицательно. А это означает, что геодезическая, поднявшись до верхней точки, не может остаться в ней, а начинает опускаться. При этом в нашем формализме происходит переключение $C$ с положительного на отрицательное. Иными словами, a), c) и b) — последовательные этапы жизненного пути одной геодезической.

[Утундрий]

Проще говоря, ни один тахион не заберётся выше некоторого конечного $t$. Так что поведение их на плюс бесконечности крайне просто: их там нет

[svv]

Да.

[Утундрий]

Если немного пофантазировать и предположить, что тахионы таки когда-то были, то тогда-то они и остались, нам сегодняшним не достались.

[svv]

Но горе нам, если начнётся эпоха убывания $a(t)$, то есть сжатия. Тахионы начнут самозарождаться.

[Утундрий]

Если такое вдруг случится, то тахионы будут не самой главной проблемой...