wedge не базис

[2old]

Find a 2-form which is not the product of 1-forms.

Например, $dx^1\wedge dx^2 + dx^3\wedge dx^4$.

Давайте найдем с какой размерности $n$, не любая 2-форма это произведение 1-форм.
Базис в пространстве 2-форма имеет $\dfrac{n(n-1)}{2}$ элементов, а две 1-формы имеют $2n$ координат, получается с $n>5$ не выполняется. Но выше пример для $4$.
2-форма как произведение 1-форм имеет вид $\sum\limits_{i<j}(\alpha_i\beta_j - \alpha_j\beta_i)dx^i\wedge dx^j$. Но что-то я туплю, не понимаю как в целом сказать, что для $n>3$ нет соответствия.

[Red_Herring]

• Рассмотрим четную размерность. При каких $n$ существует 2-форма $\omega$, т.ч. для любой 1-формы $\alpha$, $\omega \wedge \alpha=0\implies \alpha=0$?
• Сформулировать аналогичное уверждение в нечетномерном случае; при $n$ аких оно верно?

[vpb]

2old в сообщении #1473182 писал(а):

а две 1-формы имеют $2n$ координат, получается с $n>5$ не выполняется. Но выше пример для $4$.

На самом деле, произведение двух 1-форм задается меньшим число параметров, чем $2n$. Это из-за того, что $u\wedge v=u\wedge (v+\lambda u)$ и $u\wedge v=(u+\lambda v)\wedge v$, а также всегда
$u\wedge v= (\lambda u)\wedge(\lambda^{-1}v)$. Рассмотрим $u\wedge v$, где $u=a_1e_1+a_2e_2+a_3e_3+a_4e_4$ и $v=b_1e_1+b_2e_2+b_3e_3+b_4e_4$. Применяя соотношение $(\lambda u)\wedge(\lambda^{-1}v)$, можно считать, что $a_1=1$. Затем, прибавляя $u$ к $v$ с подходящим коэффициентом, видим, что на самом деле можно считать, что $b_1=0$. Наконец, прибавляя $v$ к $u$ с коэффициентом, видим, что можно ограничиться случаем $a_2=0$ . Значит, на самом деле $u\wedge v=(e_1+a_3e_3+a_4e_4)\wedge (b_2e_2+b_3e_3+b_4e_4)$ определяется пятью параметрами.

-- 11.07.2020, 02:52 --

(а, вы их через дифференциалы записывали, как в анализе... в общем, разберетесь).

-- 11.07.2020, 02:57 --

2old в сообщении #1473182 писал(а):

Но что-то я туплю, не понимаю как в целом сказать, что для $n>3$ нет соответствия.

Чтоб это нормально сказать, надо знать, что такое "размерность многообразия", аккуратно. Вы, возможно, и не знаете пока.

Проще доказать непосредственно. Только надо иметь в виду, что рассуждение выше в некоторых специальных случаях неприменимо (надо, чтоб в исходном произведении было $a_1b_2\ne a_2b_1$).