Факторизация объектов

[vadimm]

Объясните про факторизацию, её виды и смысл. Складывается мнение, что это какая-то универсальная вещь. Часто попадается на глаза, а что именно не ясно.

Как я понял. Факторизация это операция, применяемая к некоторому объекту. Существуют объекты факторизуемые, то есть те, где можно выполнить факторизацию. А есть и такие, которые не факторизуются. Для факторизации всегда необходимы две вещи, как сам объект , так и то, относительно чего (или может вернее, по чему) он факторизуется.

Примеры, которые встречались:

1) Факторизация числа - разложение числа на любые сомножители. Почему не на слагаемые? Или есть несколько видов факторизации чисел - относительно произведения, относительно суммы? Или я не так понимаю и понятие факторизации числа всегда однозначно, что означает разложение числа на простые сомножители (что наиболее встречается)?

2) Факторизация множества. Как я понял, это разбиение множества на дизъюнктные подмножества (классы) по некоторому признаку. Разбиение на классы эквивалентности. А какие существуют еще виды факторизации множеств?

3) Отфакторизованные пространства. Что это такое? Встречалось такое. Пусть $X$ - отфакторизованное пространство. Что это значит? Или пространство: отфакторизованное по идеалу, отфакторизованное по замкнутым, отфакторизованное по сопряжению и т.п. Как это понимать?

Насколько важна факторизация? Почему? Это просто термин, чтобы пугать прохожих или нечто более важное и глубокосодержательное? Без неё никак или с ней гораздо проще, в смысле, что берем часть некоторого объекта, изучаем и говорим, что весь объект работает как эта часть?

[george66]

Разложение чисел на множители стоит особняком (другой смысл слова). Вообще, фактор-объект получается, если некоторые элементы объекта отождествить, считать за один и тот же. Если на множестве задано отношение эквивалентности (рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение), можно эквивалентные элементы не различать (считать за один и тот же) и получить фактормножество. Если считать эквивалентными целые числа одинаковой чётности, получается фактормножество из двух элементов (чет и нечет). Если на множестве задана какая-то структура, отношение эквивалентности должно быть согласовано с этой структурой. Например, если элементы можно складывать и умножать, при сложении и умножении эквивалентных элементов должны получаться эквивалентные результаты. Возьмём целые числа со сложением и умножением, вместо чет и нечет будем писать 0 и 1 (остатки от деления на два), складывать их будем по правилу $1+1=0$ (при сложении берётся остаток от деления на два). Получаем фактор-кольцо. Общее определение факторобъекта дать можно, но не очень просто (теория категорий).