Гипергеометрическая функция комплексного переменного

[Singular]

Подскажите где-то можно почитать/узнать как явно выделить действительную и мнимую часть гипергеометрической функции $_2F_1\left(a,b;c;x+i\,y\right)$ от комплексной переменной? Конечно же, можно самому "в лоб" расписать, взять за основу ряд с возведением в степени аргумента, разделив на части; можно также представить в экспоненциальной форме, что должно быть вроде бы попроще. Допускаю мысль, что в итоге возможно будут какие-то специальные, но "изученные", функции. Хотелось бы знать побольше по этому вопросу.

[novichok2018]

Когда-то задумывался о такой задаче для функций Бесселя. Но там есть теорема сложения, что облегчает нахождение действительной и мнимой частей. Тут же конечно можно через ряд, но нужно раскрывать/суммировать все биномы и тд. Может быть попробовать через какое-то интегральное представление?

-- 09.07.2020, 16:52 --

посмотрите здесь
https://www.researchgate.net/post/Do_yo ... _complex_z

мой знакомый Тибор Поганж вроде выписывает ответы. И там ссылки на многия файлы с результатами, причём различными.

[Markiyan Hirnyk]

Гипергеометрическая функция является аналитической функцией в плоскости с разрезом от $1$ до бесконечности вдоль положительного луча. Следовательно, ее действительная и мнимая части являются гармоническими функциями там же. Вместе с тем, гипергеометрическая функция есть решением некоторого ОДУ в комплексной плоскости. Понятно, что ни мнимая ни действительная ее часть этому ОДУ не удовлетворяет (см. Вики). По-видимому, ни действительная ни мнимая части гипергеометрической функции не обладает никакими специальнsми свойствами, кроме гармоничности, поэтому вряд ли рассматриваются отдельно (даже $\operatorname{Re} (\exp(x+iy))=\exp(x)\cos(y)$ не встречал).

[novichok2018]

По приведённым ссылкам выписаны явные формулы для действительной и мнимой частей гипергеометрической функции. Там было обсуждение, сначала были ряды по гипергеометрическим функциям, окончательный вариант выписан через функции из списка Горна (см. Бейтмен-Эрдейи 1).
Там же даны ссылки на статьи с приложениями - вычисления интегралов Фейнмана и тд, посмотрите.
Любые явные математические формулы рано или поздно находят применения.

[Singular]

Безмерно благодарен за приведённые ссылки. Спасибо большое!!!