2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Гипергеометрическая функция комплексного переменного
Сообщение09.07.2020, 14:37 
Аватара пользователя


23/07/07
164
Подскажите где-то можно почитать/узнать как явно выделить действительную и мнимую часть гипергеометрической функции $_2F_1\left(a,b;c;x+i\,y\right)$ от комплексной переменной? Конечно же, можно самому "в лоб" расписать, взять за основу ряд с возведением в степени аргумента, разделив на части; можно также представить в экспоненциальной форме, что должно быть вроде бы попроще. Допускаю мысль, что в итоге возможно будут какие-то специальные, но "изученные", функции. Хотелось бы знать побольше по этому вопросу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипергеометрическая функция комплексного переменного
Сообщение09.07.2020, 16:43 
Заблокирован


16/04/18

1129
Когда-то задумывался о такой задаче для функций Бесселя. Но там есть теорема сложения, что облегчает нахождение действительной и мнимой частей. Тут же конечно можно через ряд, но нужно раскрывать/суммировать все биномы и тд. Может быть попробовать через какое-то интегральное представление?

-- 09.07.2020, 16:52 --

посмотрите здесь
https://www.researchgate.net/post/Do_yo ... _complex_z

мой знакомый Тибор Поганж вроде выписывает ответы. И там ссылки на многия файлы с результатами, причём различными.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипергеометрическая функция комплексного переменного
Сообщение09.07.2020, 16:59 


11/07/16
828
Гипергеометрическая функция является аналитической функцией в плоскости с разрезом от $1$ до бесконечности вдоль положительного луча. Следовательно, ее действительная и мнимая части являются гармоническими функциями там же. Вместе с тем, гипергеометрическая функция есть решением некоторого ОДУ в комплексной плоскости. Понятно, что ни мнимая ни действительная ее часть этому ОДУ не удовлетворяет (см. Вики). По-видимому, ни действительная ни мнимая части гипергеометрической функции не обладает никакими специальнsми свойствами, кроме гармоничности, поэтому вряд ли рассматриваются отдельно (даже $\operatorname{Re} (\exp(x+iy))=\exp(x)\cos(y)$ не встречал).

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипергеометрическая функция комплексного переменного
Сообщение09.07.2020, 17:06 
Заблокирован


16/04/18

1129
По приведённым ссылкам выписаны явные формулы для действительной и мнимой частей гипергеометрической функции. Там было обсуждение, сначала были ряды по гипергеометрическим функциям, окончательный вариант выписан через функции из списка Горна (см. Бейтмен-Эрдейи 1).
Там же даны ссылки на статьи с приложениями - вычисления интегралов Фейнмана и тд, посмотрите.
Любые явные математические формулы рано или поздно находят применения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипергеометрическая функция комплексного переменного
Сообщение09.07.2020, 22:15 
Аватара пользователя


23/07/07
164
Безмерно благодарен за приведённые ссылки. Спасибо большое!!!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Alex Krylov, YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group