Олимпиада НГУ по математике 28.09.08

[bot]

1. Пусть $f(z)=(z-\lambda_1)(z-\lambda_2) \dots (z-\lambda_n)$ и\\
$f'(z)=n(z-\mu_1)(z-\mu_2) \dots (z-\mu_{n-1})$ --- разложения многочлена и его производной над полем комплексных чисел, причём $\lambda_1,\ \dots\ , \lambda_n \ $ попарно различны.
Доказать, что

$$\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^{n-1} \frac{1}{\lambda_i-\mu_j}=0.$$

2. Найти все возможные образы множества $A=\mathbb Q\times \mathbb R\cup \mathbb R\times \mathbb Q$ при непрерывных отображениях $f: \mathbb R\times \mathbb R\longrightarrow \mathbb R.$

3. Вершины треугольной пирамиды имеют рациональные координаты в прямоугольной системе координат. Доказать, что координаты центра сферы, описанной вокруг пирамиды, тоже рациональны.

4. Исследовать сходимость интеграла $\int\limits_0^\infty\frac{\sin x}{x+|\sin x|} dx$

5. Найти наименьшее $n$, для которого в любом $n-$значном числе в десятичной системе счисления можно выбрать $k\geqslant 1$ подряд идущих цифр, произведение которых будет квадратом целого числа.

[Руст]

Все задачи тривиальны. Только считаю, что задачу 5 лучше сформулировать чуть по другому: Найти наименьшее n, для которого в любом n- значном числе в десятизначной системе счисления можно выбрать не пустое множество подряд идущих цифр, произведение которых будет квадратом целого числа.
А то в исходном виде воспринимается число k - заданным параметром задачи и задача в такой трактовке не имеет решения.
Ответ $2^m$, m=4 число простых чисел меньших основания исчисления.

[bot]

Руст в сообщении #147082 писал(а):

Все задачи тривиальны.

Спасибо за объективность - в ней не сомневался. Вчера вечером комплект был ещё тривиальнее, стал сомневаться - вдруг окажется слишком много тех, для кого планка окажется слишком низкой ...
Утром приехал пораньше, выбросил в корзину заготовленный комплект и заменил пару задач - это 3-я и 5-я. В пятой затруднялся с формулировкой - как включить в рассмотрение одну цифру в качестве возможного произведения ... , но время поджимало, надо ведь было ещё распечатать, размножить и вручную разрезать. В анналы возьму Вашу формулировку.

Сейчас вот закончили проверку, подвёл итоги - лучше бы не колготился и оставил вчерашний комплект.

Добавлено спустя 4 минуты 15 секунд:

Нет, непустое множество цифр тоже не очень хорошо - когда перечисляют множество, повторение не обычно не допускают. Надо говорить о непустом множестве номеров цифр ...
В общем, ещё подумать надо.

[id]

Ну если с первого взгляда, то
3) - достаточно записать систему из трех уравнений ( расстояния от каждой из четырех точек до центра окружности $(x,y,z)$ ) и заметить, что она будет линейной относительно $(x,y,z)$.

4) - признак Дирихле, $\frac {1} {x + |sin(x)|}$ монотонно убывает.

[Trotil]

Руст писал(а):

Ответ $2^m$, m=4 число простых чисел меньших основания исчисления.

А можно привести пример цепочки длины 15, в которой требуемой подпоследовательности нет?

[Руст]

Достаточно использовать только простые цифры. Например 757375727573757.

[TOTAL]

bot писал(а):

1. Пусть $f(z)=(z-\lambda_1)(z-\lambda_2) \dots (z-\lambda_n)$ и\\
$f'(z)=n(z-\mu_1)(z-\mu_2) \dots (z-\mu_{n-1})$ --- разложения многочлена и его производной над полем комплексных чисел, причём $\lambda_1,\ \dots\ , \lambda_n \ $ попарно различны.
Доказать, что

$$\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^{n-1} \fra{1}{\lambda_i-\mu_j}=0.$$

Что требуется доказать?

[Trotil]

Руст, спасибо! Все гениальное - просто.

TOTAL, похоже, там дробь должна быть.

$\frac{1}{\lambda_i-\mu_j}$

[TOTAL]

bot писал(а):

2. Найти все возможные образы множества $A=\mathbb Q\times \mathbb R\cup \mathbb R\times \mathbb Q$

Можно словами сказать, что за множество здесь написано?

[вздымщик Цыпа]

TOTAL в сообщении #147292 писал(а):

Можно словами сказать, что за множество здесь написано?

Множество элементов $(x,y) \in \mathbb{R}^2$, в которых либо $x$, либо $y$ рациональны.

[id]

2. Образ множества точек $(x,y)$, где x,y - иррациональны, при непрерывном отображении $f:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ будет ( нет, не обязательно несчетным) всюду плотным подмножеством $Im f$.
Т.е., быть может, досточно из всевозможных образов непрерывных $f:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ выкинуть из каждого (несчетное?) всюду плотное множество?

[Профессор Снэйп]

id писал(а):

2. Образ множества точек $(x,y)$, где x,y - иррациональны, при непрерывном отображении $f:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ будет ( нет, не обязательно несчетным) всюду плотным подмножеством $Im f$.
Т.е., быть может, досточно из всевозможных образов непрерывных $f:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ выкинуть из каждого (несчетное?) всюду плотное множество?

Ну... Я, честно говоря, слабо представляю, в каком виде составители хотели увидеть ответ.

Насчёт написанного замечу, что образ всегда будет линейно связным множеством. А здесь это никак не отражено.

P. S. В формулировке задачи я бы написал скобки:

$$A = (\mathbb{Q} \times \mathbb{R}) \cup (\mathbb{R} \times \mathbb{Q})$$

.

[В.П.]

Руст писал(а):

Все задачи тривиальны.

Не согласен, 2 и 5 вполне приличные олимпиадные задачи, только формулировки следует уточнить. Даже не смотря на то, что знаю код Грея, не сразу увидел решение 5-й задачи. Причём, ещё 6=2x3 нужно отдельно рассматривать.

[Профессор Снэйп]

В.П. писал(а):

...2 и 5 вполне приличные олимпиадные задачи, только формулировки следует уточнить.

А во второй какой ответ подразумевается. Я что-то даже не знаю, как к ней подступиться

[В.П.]

Профессор Снэйп писал(а):

А во второй какой ответ подразумевается. Я что-то даже не знаю, как к ней подступиться

Произвольный промежуток. Я полагаю. То есть как Вы сами написали - линейно связное множество.