Поле вращающейся сферы

[drobyshev]

На поверхности вращающейся с угловой скоростью $\omega$ сферы радиусом $a$ равномерно распределен заряд $q$.

1) Чему равна энергия электромагнитного поля, создаваемого сферой?

2) Чему равен момент импульса этого поля?

3) Пусть заряд сферы равен заряду электрона $q=-e$, энергия электромагнитного поля - энергии покоя электрона $mc^2$, а момент импульса поля равен $\hbar/2$. Каковы в таком случае согласно классической электродинамике значения $a$ и $\omega$?

4) При выполнении условий предыдущего пункта найти магнитный момент сферы (в магнетонах Бора).

[svv]

(Оффтоп)

1) $\mathcal E = \dfrac {q^2}a\left[\left(\dfrac{\omega a}{3c} \right)^2+\dfrac 1 2\right]$
2) $M_z=\dfrac {2q^2}{3c}\dfrac{\omega a}{3c}=\dfrac 2{\omega}\mathcal E_{\text{magn}}$
Магнитный момент (без учёта п.3) $\mathbf m=\mathbf e_z qa\;\dfrac{\omega a}{3c}$
Всё в СГС.

[drobyshev]

svv в сообщении #1472135 писал(а):

(Оффтоп)

1) $\mathcal E = \dfrac {q^2}a\left[\left(\dfrac{\omega a}{3c} \right)^2+\dfrac 1 2\right]$
2) $M_z=\dfrac {2q^2}{3c}\dfrac{\omega a}{3c}=\dfrac 2{\omega}\mathcal E_{\text{magn}}$
Магнитный момент (без учёта п.3) $\mathbf m=\mathbf e_z qa\;\dfrac{\omega a}{3c}$
Всё в СГС.

Верно.

[Утундрий]

Теперь осталось сочинить, почему все сферы всегда должны вращаться с некоторой фиксированной угловой скоростью и шариковая теория частиц готова...

[svv]

Обозначим через $K$ безразмерную величину $\frac{\omega a}{3c}$.

При условиях п.3 $K=\frac 3{4\alpha}\approx 102.8$, где $\alpha$ — постоянная тонкой структуры. В выражении для энергии ЭМ поля
$\mathcal E = \dfrac {q^2}a\left(K^2+\dfrac 1 2\right)$
слагаемое $K^2$, соответствующее энергии магнитного поля, в 20000 раз больше слагаемого $\frac 1 2$, соответствующего энергии электрического поля, поэтому последним пренебрегаем.

Далее находим
$a=K^2 r_e=\left(\dfrac{\omega a}{3c}\right)^2 \dfrac{e^2}{m_e c^2}$,
где $r_e$ — классический радиус электрона.
Магнитный момент сферы в магнетонах Бора равен
$\dfrac 3 2 K^2=\dfrac 3 2 \left(\dfrac{\omega a}{3c}\right)^2$

В общем, к несчастью для «шариковой теории», всё оказывается гораздо больше, чем нужно. И даже максимальная линейная скорость вращения шарика (на экваторе) в $3K\approx 300$ раз больше скорости света.