Как определить гидростатическое давление с учётом сжатия?

[salikoff]

Здравствуйте. Объясните, пожалуйста, как с помощью математики определить величину давления на глубине.
Для практический целей используется формула гидростатического давления $p = \rho\cdot g \cdot h$, где множителями являются плотность, уск. своб. падения и высота столба жидкости соответственно. Однако в реальности ни одна жидкость не является несжимаемой, и для каждой жидкости определён модуль объёмного сжатия $\beta = -V \cdot \frac{\triangle p}{\triangle V}$, где $V$ — объём, $p$ — давление. Кроме того, величина $g$ также меняет своё значение в зависимости от расстояния от центра земли $g = g_{0} \cdot \frac{R-h}{R}$ , где $R$ — радиус земли, $g_{0}$ — уск. своб. падения на поверхности. Таким образом, чтобы найти давление на заданной глубине, нужно проинтегрировать веса единичных кубиков жидкости, которые будут меняться в зависимости от глубины. Я понятия не имею как это сделать и обращаюсь к вам за помощью. То есть в качестве ответа я рассчитываю получить формулу, связывающую глубину с давлением, и даже не саму формулу, а способ её вывода исходя из вышеизложенных данных.
Кстати, с этим вопросом я подходил к преподавателю математики и получил от него неожиданный ответ: вода, мол, не сжимается, и поэтому мой вопрос не имеет смысла. Странно было это услышать от математика. Если бы от физика, ещё можно было бы понять, хотя даже для физика этот вопрос должен быть вполне насущным: на дне Марианской впадины глубиной 11 километров давление приблизительно равно 1100 атмосфер. При таком давлении плотность воды возрастает ≈ 5.5%. Немного, но достаточно ощутимо для того, чтобы это стоило учитывать.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- в такого рода вопросах существенной частью является указание, с какой точностью требуется получить ответ (как вариант - с какой целью нужен результат), иначе обсуждать что-либо малоосмысленно.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

-- 05.07.2020, 17:41 --

salikoff в сообщении #1472265 писал(а):

То есть в качестве ответа я рассчитываю получить формулу, связывающую глубину с давлением, и даже не саму формулу, а способ её вывода исходя из вышеизложенных данных.

"Вышеизложенные данные" для этого не слишком удобны.

Можно воспользоваться уравнением гидростатического равновесия

$$\vec \nabla p = - \rho \vec \nabla \varphi,$$

где $\varphi$ - потенциал, в котором находится среда. В простом сферически-симметричном случае оно превратится в

$$\frac{dp}{dr} = - \rho g.$$

Дальше нужно, во-первых, уравнение состояния среды $p=p(\rho)$ (его можно получить из выражения для модуля объемного сжатия, но нужно еще и выражение для самого модуля $\beta$ откуда-то взять - константой, вообще говоря, он не является), во-вторых, выбрать какую-то модель изменения ускорения свободного падения $g$ с глубиной (выбранная вами предполагает, что Земля - однородный шар, что либо слишком грубо, либо, наоборот, слишком сложно и ненужно). Когда это будет сделано - искать решение дифференциального уравнения с известными начальными данными (для поверхности).

Отсюда, собственно, и вопрос про точность. Практического смысла в том, чтобы городить этот огород для оценки давления на дне Марианской впадины, не имеется, а точный подсчет давления в нужной точке дна все равно требует более аккуратной модели.

[amon]

salikoff в сообщении #1472265 писал(а):

То есть в качестве ответа я рассчитываю получить формулу, связывающую глубину с давлением, и даже не саму формулу, а способ её вывода исходя из вышеизложенных данных.

А Вы дифференцировать-интегрировать умеете?

[wrest]

salikoff в сообщении #1472265 писал(а):

Кроме того, величина $g$ также меняет своё значение в зависимости от расстояния от центра земли $g = g_{0} \cdot \frac{R-h}{R}$ , где $R$ — радиус земли, $g_{0}$ — уск. своб. падения на поверхности.

Не, это не так, если мы говорим о Земле. Гравитация немного подрастает до глубин около 2,5 тыс. км от поверхности, достигая что-то около 10,8 (точнее не помню).

[salikoff]

Спасибо за ответы.
@Pphantom, @wrest изложенная задача лично для меня не является физической. Она — математическая, чисто умозрительная. Я сам придумал такую модель и хочу понять, как в рамках этой модели получить зависимость давления от глубины. В моей модели Земля — идеальный шар, в толще которого уск. своб. падения изменяется по указанному мной в первоначальной формулировке задачи закону. И модуль объёмного сжатия $\beta$ у меня константа.
@amon Умею, в школе учили. Если мне дать какое-нибудь выражение, с помощью правил из учебника я как-нибудь его продифференцирую/проинтегрирую. В конце-концов, программы компьютерной алгебры типа Mathematica сделают эту механическую работу. Но чтобы что-то проинтегрировать, нужно чтобы что-то было.
В итоге, получается, мне нужно составить это самое дифференциальное уравнение, а я не понимаю, как это делается.

[amon]

salikoff в сообщении #1472514 писал(а):

Умею, в школе учили.

Ну, тогда поехали. У нас есть цилиндрик высотой $h.$ Площадь основания цилиндрика - единица. Плотность вещества, из которого цилиндрик сляпан, зависит от координаты вдоль образующей цилиндрика $z$ как $h(z).$ Напишите формулу для массы такого цилиндрика.

[Pphantom]

salikoff, для того, чтобы упомянуть кого-то (обратиться к кому-то и т.п.), надо кликнуть мышью на никнейм соответствующего участника (или вставить упоминание вручную в соответствующем формате). Использованный вами способ тут не поддерживается.

[salikoff]

(Оффтоп)

Pphantom, спасибо за подсказку. Я честно искал способ сделать правильно, но не найдя его, прибегнул к такому суррогату.

-- 06.07.2020, 02:42 --

amon, давайте попробую.
Масса цилиндра равна $r \cdot h$, где $r$ — линейная плотность, а $h$ — высота. Но $r$ — это функция от $h$. Значит, масса равна $m = \int\limits_{0}^{h} r(h)dh$. Дальше проблема — я не знаю, как выразить плотность через высоту. Мне известен модуль объёмного сжатия, и благодаря этому я могу выразить плотность через давление и наоборот. Но давление — это тоже функция от $h$, и получается замкнутый круг.

[amon]

salikoff в сообщении #1472541 писал(а):

Значит, масса равна $m = \int\limits_{0}^{h} r(h)dh$.

Что-ж, для начала совсем неплохо. Теперь пусть этот цилиндрик мы мысленно вырезали из воды так, что бы верхнее "донышко" было на поверхности, а нижнее - на глубине $h.$ Этот цилиндрик неподвижен. Напишите условие этой "неподвижности" через массу цилиндрика и давление.

[salikoff]

amon, хорошо.
Условие неподвижности — это ситуация, когда действующие на цилиндр силы равны. Давайте пока упростим, и сделаем уск. своб. падения константой по всей глубине столба. Тогда вниз тащит сила $mg$, вверх толкает давление $p(h)$.
Получается: $mg = p(h)$, или, с учётом ранее выведенной формулы для массы: $g\int\limits_{0}^{h}r(h)dh = p(h)$
И что с этим можно сделать дальше?

[amon]

salikoff в сообщении #1472647 писал(а):

$mg = p(h)$

Гениально! Теперь надо сообразить что такое $r(h).$ Плотность зависит от давления, которое, в свою очередь, зависит от глубины. Вода сжимается хреново, поэтому можно считать, что плотность зависит от давления линейно (если предыдущее непонятно - считайте это пока экспериментальным фактом): $r=r_0(1+\alpha p).$ Теперь подставим это в Ваше выражение, и получим уравнение на давление, правда пока интегральное. Запишите его и попробуйте сообразить, как из него можно получить дифференциальное (интегральное тоже решается).