Топологическая задача на проективное пространство

[george66]

Можно ли на каждой прямой трёхмерного проективного пространства выбрать точку, чтобы точка от прямой зависела непрерывно? При желании трёхмерное проективное пространство можно представить как шар, у которого отождествлены диаметрально противоположные точки сферы. Тогда прямые изображаются кусками окружностей любой кривизны, лежащих внутри шара и пересекающих его поверхность в диаметрально противоположных точках (включая диаметры и "экваторы" - большие окружности на сфере). Думаю, что нельзя, но бывают всякие чудеса (вроде слоения Риба).

[george66]

Возьмём для простоты проективную плоскость, она устроена как сфера с отождествлёнными диаметрально противоположными точками. Большие окружности на сфере превращаются в прямые на проективной плоскости. Каждой точке сферы ("полюсу") соответствует большая окружность ("экватор", полярная прямая). Допустим, можно на каждой прямой непрерывно выбрать точку. Тогда для каждой точки ("полюса") выберем точку на его "экваторе", проведём через них прямую и получим причёсывание ежа (поле касательных прямых, непрерывно зависящих от точки-полюса). Для сферы это невозможно, а для проективной плоскости?

[Slav-27]

Рассмотрите композицию $S^3\to\mathbb RP^3\to\mathbb R^4$, где последняя стрелка -- ваша функция.

Кстати говоря, по-другому ваш вопрос звучит "тривиально ли тавтологическое расслоение над $\mathbb RP^3$".

[george66]

Да я не тополог, я таких слов вообще не знаю, всё своим умом. В трёхмерном проективном пространстве можно непрерывно выбрать
1) точку на любой плоскости (называется нуль-система);
2) плоскость, проходящую через любую точку;
3) прямую, проходящую через точку;
4) прямую, лежащую на плоскости.
И вот в самый последний момент!

[Slav-27]

george66 в сообщении #1472120 писал(а):

Можно ли на каждой прямой трёхмерного проективного пространства выбрать точку

Так вы про проективные прямые в $\mathbb RP^3$? Тогда я вас не правильно понял, я думал, что речь про прямые в $\mathbb R^4$.

[george66]

Знакомая топологиня предлагает такое решение (кто-нибудь может проверить?)

Вопрос можно переформулировать так: можно ли выбрать в каноническом расслоении $Е$ над грассманианом $Gr(2,4)$ непрерывное поле прямых (в смысле "одномерных подпространств")? Предположим, что да. Зафиксируем в каждой такой прямой противоположную пару векторов единичной длины. Это нам даёт двулистное накрытие грассманиана (обозначим его $X$) и сечение поднятия $E'$ расслоения $Е$ на $X$, нигде не обращающееся в нуль. Теперь можно посмотреть, допускает ли $E'$ такое сечение. Наличие такого сечения дало бы тривиализацию $E$' (так как $E'$ ориентируемо и двумерно, его можно снабдить структурой одномерного комплексного расслоения). Теперь можно посмотреть на характеристические классы расслоения $E'$, чтобы показать, что оно нетривиально. Мне это делать неохота, так что упростим задачу.

Отождествим $R^4$ с комплексной плоскостью $C^2$. Тогда проективизация $CP^1$ плоскости $C^2$ отождествляется с подпространством грассманиана $Gr(2,4)$. Пусть $F$ -- (одномерное комплексное) каноническое расслоение над $CP^1$.

Если бы имелось такое сечение, как написано выше, то его ограничение на $CP^1$ было бы сечением поднятия $F'$ расслоения $F$ на двулистное накрытие $CP^1$. Тогда $F'$ было бы тривиально. Но первый класс Черна $F'$ является поднятием первого класса Черна $F$ на двулистное накрытие $CP^1$, а это не ноль (можно вычислить его на фундаментальном классе этого накрытия, получится 2). Получили противоречие. Значит, такого сечения нет.