Знакомая топологиня предлагает такое решение (кто-нибудь может проверить?)
Вопрос можно переформулировать так: можно ли выбрать в каноническом расслоении

над грассманианом

непрерывное поле прямых (в смысле "одномерных подпространств")? Предположим, что да. Зафиксируем в каждой такой прямой противоположную пару векторов единичной длины. Это нам даёт двулистное накрытие грассманиана (обозначим его

) и сечение поднятия

расслоения

на

, нигде не обращающееся в нуль. Теперь можно посмотреть, допускает ли

такое сечение. Наличие такого сечения дало бы тривиализацию

' (так как

ориентируемо и двумерно, его можно снабдить структурой одномерного комплексного расслоения). Теперь можно посмотреть на характеристические классы расслоения

, чтобы показать, что оно нетривиально. Мне это делать неохота, так что упростим задачу.
Отождествим

с комплексной плоскостью

. Тогда проективизация

плоскости

отождествляется с подпространством грассманиана

. Пусть

-- (одномерное комплексное) каноническое расслоение над

.
Если бы имелось такое сечение, как написано выше, то его ограничение на

было бы сечением поднятия

расслоения

на двулистное накрытие

. Тогда

было бы тривиально. Но первый класс Черна

является поднятием первого класса Черна

на двулистное накрытие

, а это не ноль (можно вычислить его на фундаментальном классе этого накрытия, получится 2). Получили противоречие. Значит, такого сечения нет.