Категоричность аксиом Колмогорова

[maximav]

Категорична ли система аксиом вероятности Колмогорова? Я имею в виду ситуации, когда размерность пространства событий фиксирована. Достаточно будет пояснить на конечномерном случае. Теорема Глисона и меры на пространствах Гильберта подсказывают мне, что ответ - нет, но не хватает деталей. Кажется в какой-то книжке по мат логике была такая задача, но не помню в какой. Если не категорична, то что необходимо для "ужесточения"?

[mihaild]

Не очень понятно, про какую размерность идет речь - в аксиомах нет ничего про размерность (и вообще про вектора). Но очевидно что уже на двух элементах можно построить кучу неизоморфных вероятностных пространств.

[maximav]

Я имел в виду разные вероятностные меры на одной и той же замкнутой системе событий. В каком смысле, и возможно ли, сделать так, чтобы разнообразие таких мер чем-то ограничивалось бы (в определенном смысле). Гильбертовы векторы здесь ни при чем. Это был пример к слову. Аналогия: возьмем векторные пространства и зафиксируем у них размерность. Тогда их аксиомы станут категоричными.

[mihaild]

Говорить о категоричности тут ИМХО не очень хорошо, т.к. аксиомы Колмогорова вообще не являются теорией первого порядка (какая могла бы быть сигнатура? например выражение $\mu(\mu(A))$ явно бессмысленно), лучше об изоморфизме разных вероятностных пространств.

Ну и уже двухэлементных вероятностных пространств может быть много (и даже пространства событий могут отличаться).

[maximav]

mihaild в сообщении #1469626 писал(а):

Говорить о категоричности тут ИМХО не очень хорошо, т.к. аксиомы Колмогорова вообще не являются теорией первого порядка

В этом месте просвятите поподробнее пожалуйста. Чем аксиомы векторного пр-ва отличаются от колмогоровских. Контекст тот же, что и выше. Разные вероятностные меры на одном и том же пр-ве событий.

[mihaild]

maximav в сообщении #1470542 писал(а):

Чем аксиомы векторного пр-ва отличаются от колмогоровских

А какие конкретно? Если стандартные (есть поле, есть пространство, можно складывать элементы пространства и умножать их на элементы поля) - то ничем, там та же проблема (есть объекты разных типов).
Можно сказать "все векторные пространства данной размерности над данным полем изоморфны", но нельзя сказать "теория векторных пространств данной размерности категорична", т.к. набор аксиом векторного пространства, строго говоря, не является теорией.

[maximav]

Я имел в виду следующее. Берем и формально перечисляем аксиомы векторного пр-ва. Добавляем для жесткости конкретное поле (аксиомы) и размерность. Разумеется после всяких там танцев с бубнами по поводу существования базисов, их размерностей и т.д. Сделали, добились (?) жесткости. Теперь (пытаюсь) делаю нечто подобное с колмогоровскими аксимомами. Здесь мне и не понятно. Вы говорили, по всей видимости ключевые, слова про "не первого порядка". И еще вы сказали

mihaild в сообщении #1470543 писал(а):

набор аксиом векторного пространства, строго говоря, не является теорией

В этих местах я и не догоняю.

[mihaild]

maximav в сообщении #1470547 писал(а):

Добавляем для жесткости конкретное поле (аксиомы) и размерность

Проблема в том, что у вас при этом получаются объекты двух разных типов - скаляры и векторы. И становится непонятно даже какую сигнатуру использовать.

maximav в сообщении #1470547 писал(а):

нечто подобное с колмогоровскими аксимомами

С ними сложнее, потому что, в отличии от векторных пространств, которые при фиксированном поле (и наличии аксиомы выбора) с точностью до изоморфизма задаются мощностью базиса, пространства с мерой так просто параметризовать не получается - даже сигма-алгебры на множестве одной мощности довольно разнообразны, а к сигма-алгебре обычно можно еще очень много разных мер приделать...

maximav в сообщении #1470547 писал(а):

по всей видимости ключевые, слова про "не первого порядка"

Нет, ключевое тут "теория".

maximav в сообщении #1470547 писал(а):

В этих местах я и не догоняю.

Чтобы говорить о теории, нужно зафиксировать сигнатуру - константные, функциональные и предикатные символы (и валентности). А теорией в данной сигнатуре называется множество замкнутых формул в этой сигнатуре.
Например, для теории полей есть константные символы $0$, $1$, функциональные символы (валентности $2$) $+$ и $\cdot$ и предикатный символ (тоже валентности $2$) $=$. Ну и аксиомы там вида $\forall x: x + 0 = x$.
Для векторного пространства всё разваливается уже на этапе выписывания сигнатуры.

[maximav]

Спасибо. Я более менее въехал "куда думать".

[george66]

Теория категорична, если у неё есть ровно одна модель (с точностью до изоморфизма). Например, аксиоматика полных упорядоченных полей категорична, есть ровно одно полное упорядоченное поле (поле действительных чисел). Кстати, это теория второго порядка. Аксиоматика Колмогорова - это теория пространств с мерой, причём всё пространство имеет меру единица. Таких пространств много, поэтому теория не категорична, в каком языке её не записывай.