Бесконечное кольцо R

[Lorein_]

А в чём путаница?

[vpb]

Lorein_ в сообщении #1469861 писал(а):

А в чём путаница?

Путаница, так сказать, сплошняком.
Вам стоит потренироваться вдумчиво думать и акккуратно излагать свои мысли, вообще. Я иногда на форуме пытаюсь кого-нибудь этому учить. Особенно много усилий посвятил этому в теме
Хочу быть математиком, в середине. Думаю, Вам тоже будет полезно некоторые места из той темы почитать. Правда, там рассматриваются детские задачи, про взвешивание шариков и т.д. Но на таких задачах еще понятнее, как не путаться.

[Lorein_]

vpb в сообщении #1470021 писал(а):

Путаница, так сказать, сплошняком.

Если элементов вида $ax$ конечное число, то какие-то из элементов могут совпасть, например $ax = ay$, $a(x-y)=0$, $x,y \in R$, если a делитель нуля, то можно рассмотреть множество $\left\lbrace ax=0, x \in R \right\rbrace$ это множество состоит из необратимых элементов,причем их бесконечное число. Противоречие.

[vpb]

Мадемуазель, Вы совершено зря проигнорировали мое предыдущее сообщение. Оно было написано для Вашей пользы, а не для моего собственного удовольствия, ибо я человек занятой. Извините, пока что я тему покину.

[provincialka]

Непонятное обозначение:

Lorein_ в сообщении #1470037 писал(а):

$\left\lbrace ax=0, x \in R \right\rbrace$

В условии у вас две переменные, из каких "собирается" множество?

Обычно множество с помощью условия описывают так: $\lbrace x| \text{условие на } x \rbrace$
Так что вашу запись можно понять двояко:$\lbrace x \in R | ax=0\rbrace$ или $\lbrace a|\exists x \in R ,ax=0 \rbrace$
Которое из двух множеств вы имели в виду?

[Lorein_]

provincialka в сообщении #1470090 писал(а):

В условии у вас две переменные, из каких "собирается" множество?

Множество "собирается" из $x$.

provincialka в сообщении #1470090 писал(а):

Так что вашу запись можно понять двояко:$\lbrace x \in R | ax=0\rbrace$ или $\lbrace a|\exists x \in R ,ax=0 \rbrace$
Которое из двух множеств вы имели в виду?

Я имела в виду такое множество $\lbrace x \in R | ax=0\rbrace$ .

[provincialka]

Lorein_
Вот! Другое дело. Можете теперь завершить доказательство? Записать его заново, с начала до конца?

[Lorein_]

Если элементов вида $ar$ бесконечное число, покажем, что если $a$ необратим, то и элементы вида $ar$ тоже будут необратимыми.
Пусть $a\ne0, a \in R$, $a$- необратим, от противного пусть $ar, r \in R$ - обратим, тогда найдется $b\ne0, b\in R$ т.ч. $(ar)b = 1$ отсюда $a(rb) = 1$ Получили, что $a$ обратим. Противоречие.
Если элементов вида $ar$ конечное число, то какие-то из элементов могут совпасть, например $ar = ay$, $a(r-y)=0$, $r,y \in R$, $a$ делитель нуля, рассмотрим множество $\lbrace r \in R | ar=0\rbrace$ это множество состоит из необратимых элементов,причем их бесконечное число. Противоречие.
Таким образом, не может быть ситуации, когда существуют необратимые элементы, но их число конечно.

[provincialka]

Теперь нормально. Можно сделать небольшое уточнение. Вы пишете

Lorein_ в сообщении #1470145 писал(а):

какие-то из элементов могут совпасть

но нам-то нужно не просто "какие-то", а бесконечное число таких $y$ (или таких $r$).

[Lorein_]

provincialka в сообщении #1470194 писал(а):

но нам-то нужно не просто "какие-то", а бесконечное число таких $y$ (или таких $r$).

Поняла, спасибо за помощь!