Обратимость в кольцах вычетов

[oleg.k]

Someone в сообщении #1469905 писал(а):

Нет. У Вас $ak+bn$ равно чему? И какой будет обратный элемент?

Извините, что я столько правок сделал. $[ak + bn] = [1]$. Обратным будет $[a] + [\frac{bn}{a}]$.

-- 21.06.2020, 00:56 --

$[a] + [\frac{bn}{k}]$

[Someone]

oleg.k в сообщении #1469906 писал(а):

$[ak + bn] = [1]$. Обратным будет $[a] + [\frac{bn}{a}]$.

-- 21.06.2020, 00:56 --

$[a] + [\frac{bn}{k}]$

О, боже! Вы путаете кольцо целых чисел с кольцом вычетов. Алгоритм Евклида работает в кольце целых чисел, поэтому $ak+bn$ равно чему?
А дробь $\frac{bn}k$ при $k>1$ в кольце целых чисел смысла не имеет (я имею в виду конкретно ту ситуацию, которая рассматривается в задаче). Поэтому писать её нельзя.
Так какой же тут элемент, обратный $[k]$?

[oleg.k]

Someone в сообщении #1469908 писал(а):

Алгоритм Евклида работает в кольце целых чисел, поэтому $ak+bn$ равно чему?

$ak + bn = 1$ Тогда $ak = 1 - bn$, следовательно $[a][k] = [1] - [b][n] = [1] - [b][0] = [1] - [0] = [1]$. Таким образом, обратным к $[k]$ будет $[a]$. Огромная Вам благодарность, что помогли.

[nnosipov]

oleg.k в сообщении #1469903 писал(а):

а метод от противного можно как-нибудь до ума довести?

Разумеется, можно. Но для этого нужно сначала доказать то свойство делимости, что уже было сформулировано выше.