Доказательство полноты метрического пространства

[lnk_user]

Дано метрическое пространство $(X, \rho)$, где

$$X = C^1[0, 1]=\{x \in C[0, 1]\ |\ x'(t) \in C[0,1]\},\ \rho(x, y)=\max_{t\in[0,1]}|x(t)-y(t)|.$$

$C[0, 1]$ - это множество непрерывных на $[0, 1]$ функций. Нужно выяснить, является ли оно полным (банаховым).

Пространство является полным по определению, если в нем любая фундаментальная последовательность имеет предел, который принадлежит этому пространству.

Перед созданием этой темы прочитал все предыдущие, связанные с доказательством полноты, но, если честно, пока не уловил общую идею.
Насколько я понял, в случае, когда в качестве множества берется $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$, которые являются заведомо полными, можно доказать полноту сведением нашей нормы к обычной норме, т.е. если последовательность фундаментальна относительно нашей нормы и удалось показать, что эта же последовательность фундаментальна относительно обычной нормы, значит, что пространство полное (как тогда быть, если это показать не удалось и пространство на самом деле не полное?..).

В этом же случае, когда множество нестандартное, я теряюсь, как можно доказать, что любая фундаментальная последовательность будет сходится (или показать обратное).

Буду очень благодарен за помощь, трудновато постигать это на дистанционке самому. Хочу разобраться с идеей доказательства, общей схемой.

[thething]

У Вас сходимость по метрике эквивалентна равномерной сходимости, а при равномерной сходимости дифференцируемость может не сохраняться. Поэтому подберите пример последовательности непрерывно дифференцируемых функций, которая сходится равномерно к недифференцируемой (например, к модулю). Она будет фундаментальной, но не сходящейся.

[lnk_user]

А в чём разница равномерной сходимости и сходимости по норме?
Определение равномерной сходимости: $\forall \varepsilon > 0\ \exists N : \forall n > N, \forall x$ выполняется $|f_n(x)-f(x)| < \varepsilon$.
Определение сходимости по норме: $\forall x, n \to \infty$ выполняется $\|f_n(x)-f(x)\| \to 0$.
И почему в моём случае они эквиваленты?

[Someone]

lnk_user в сообщении #1469802 писал(а):

А в чём разница равномерной сходимости и сходимости по норме?

А как определяется та норма, которая у Вас написана?

[mihaild]

lnk_user в сообщении #1469802 писал(а):

И почему в моём случае они эквиваленты?

А распишите предел в сходимости по норме на языке эпсилон-дельта (ну точнее $\varepsilon$-$n$ в данном случае), и заодно подставьте туда определение вашей нормы.

[gris]

(Оффтоп)

кажется, в этом пространстве удачно срабатывает только равномерная сходимость производных. Тогда и сами функции (с учётом констант, конечно. то есть достаточно одной точки) равномерно сходятся и в пределе всё совпадает.