Множество, измеримое по Жордану

[Otta]

TAO45 в сообщении #1469313 писал(а):

Тогда оно должно иметь границу, совпадающую с границей исходного множества, разве нет?

А это верно. Вот как только обоснуете - все готово.

[TAO45]

Обоснование, которое я приводил в самом своем первом сообщении неверно?

[mihaild]

TAO45 в сообщении #1469313 писал(а):

Тогда оно должно иметь границу, совпадающую с границей исходного множества, разве нет?

Нет. Возьмите например множество, состоящее из одной точки - его граница состоит из этой же точки, а граница его внутренности пуста.

[TAO45]

Тогда внутренние точки данного множества и будет эта самая точка, разве нет?
Тогда, уменьшая разбиение плоскости, мы придем к тому, что граница множества будет эта же точка

[mihaild]

TAO45 в сообщении #1469319 писал(а):

Тогда внутренние точки данного множества и будет эта самая точка, разве нет?

Нет. Какие внутренние точки у множества из одной точки?

[TAO45]

Значит, пустых внутренних точек нет и внутреннее множество множество, состоящее из внутренних точек - это пустое множество? А пустое множество измеримо по Жордану
У меня нет идей доказательства, кроме как уменьшения разбиения плоскости

[mihaild]

TAO45 в сообщении #1469324 писал(а):

Значит, пустых точек нет и внутреннее множество это пустое множество?

Пожалуйста, перечитывайте, что пишете, перед отправкой. Какие "пустые точки", какое "внутреннее множество"?

TAO45 в сообщении #1469324 писал(а):

У меня нет идей доказательства, кроме как уменьшения разбиения плоскости

Всё еще

TAO45 в сообщении #1469302 писал(а):

удостовериться, что граница множества имеет верхнюю меру, равную нулю

Причем вы уже знаете, что граница исходного множества имеет нулевую меру. Осталось доказать, что если граница $X$ имеет нулевую меру, то граница внутренности $X$ тоже имеет нулевую меру.

[TAO45]

Извиняюсь, исправил своё предыдущее сообщение.
Граница внутренности X ограничена границей X правильно? (тк если она будет обширнее, то появятся новые точки) Значит она имеет верхнюю меру, равную нулю. И из этого следует, что граница внутренности X имеет меру нуль?

[Mikhail_K]

TAO45 в сообщении #1469328 писал(а):

Граница внутренности X ограничена границей X правильно? (тк если она будет обширнее, то появятся новые точки)

Вы знаете, что такое строгое математическое рассуждение?
Во-первых, в строгом математическом рассуждении не используются слова, которым ранее не дано определение. Что такое "ограничена границей"? Что значит "обширнее"? Что значит "появятся новые точки"?
Во-вторых, строгое математическое рассуждение опирается на определения всех использованных в нём терминов (или на утверждения, связывающие эти термины).

Вероятно, Вы имели в виду, что $\partial{\rm{Int}}X\subset\partial X$ (граница внутренности есть подмножество границы). Это надо доказать. Для этого нужно использовать определения границы и внутренности. Какими определениями Вы пользовались?

[TAO45]

Граница - множество точек, которые расположены сколь угодно близко и к точкам множества $X$, и к точкам вне множества $X$.
Внутренности - объединение всех открытых подмножеств $X$.
Множество состоит из внутренних точек и граничных. Если мы рассматриваем внутренность множества, то его граница должна быть подмножеством границы множества $X$, иначе, или точки внутренности станут граничными точками, или точки границы $X$ войдут в множество внутренности.

-- 18.06.2020, 01:04 --

Спасибо всем за ответы.

[mihaild]

TAO45 в сообщении #1469336 писал(а):

иначе, или точки внутренности станут граничными точками, или точки границы $X$ войдут в множество внутренности.

Эта фраза, видимо, должна быть доказательством, но им не является. И даже математическим утверждением не является: что значит "точки станут", "точки войдут"?

[Otta]

Otta в сообщении #1469315 писал(а):

А это верно.

Оу, да. Лажанулась, прошу прощения.

TAO45 в сообщении #1469336 писал(а):

Граница - множество точек, которые расположены сколь угодно близко и к точкам множества $X$, и к точкам вне множества $X$.

Повторите определение, полегчает.