Множество, измеримое по Жордану

[TAO45]

Задача: есть множество, измеримое по Жордану. Доказать, что множество внутренних точек данного множества также измеримо по Жордану.
Нам нужно проверить, равны ли внешняя и внутренняя меры

Если мы берем разбиение плоскости на большие квадраты, то мы обязаны границу области расположить в голубой зоне, так?
Но уменьшая разбиение, будет ясно, что наша граница не может быть больше, чем граница изначального множества тк туда начнут входить точки, не входящие в первое множество, значит, новая граница будет равна или меньше изначальной.
Но, если мы берем границу меньше, то, при уменьшении разбиения, некоторые внутренние точки не будут входить во множество, что противоречит условию
Из этого всего следует, что множество будет идентично изначальному множеству и оно измеримо по Жордану? Или я в чем-то не прав?

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Otta]

А еще есть критерий измеримости по Жордану. Там про границу что-то.

[TAO45]

Otta в сообщении #1469281 писал(а):

А еще есть критерий измеримости по Жордану. Там про границу что-то.

Необходимо и достаточно, чтобы граница имела Жорданову n-мерную меру нуль?

[Otta]

Ну там еще что-то.

[TAO45]

Все множества, граница которых состоит из конечного числа гладких кривых и точек, измеримы по Жордану - оно?

[Otta]

TAO45
Нет, это совершенно незачем. При чем тут внутренность? И тем более, это достаточное условие.
Поточнее критерий вспомните.

[TAO45]

Критерий звучит так: для того, чтобы множество было измеримым по Жордану, необходимо и достаточно, чтобы оно было ограничено и его граница имела меру Жордана, равной нулю
Я не знаю, что еще может быть про границу

-- 17.06.2020, 21:31 --

Если в условии рассматривается множество внутренних точек, то можно ли считать, что это множество открытое?
Тогда оно измеримо?

[Otta]

Так Вы не сказали про ограниченность. А потом, критерий измеримости в терминах измеримости - это не очень хорошо, не находите? Все-таки, "имела верхнюю меру... , равную нулю".

[TAO45]

Из условия следует то, что множество ограничено. Оно ведь является подмножеством множества, измеримого по Жордану
Значит, нужно удостовериться, что граница множества имеет верхнюю меру, равную нулю?

[Otta]

Да.

[TAO45]

У нас из условия дано, что множество ограничено
Мы рассматриваем множество внутренних точек, следовательно, оно не имеет границы, а мера границы, тк она пустое множество, равна нулю
Из ограниченности множества и того, что мера границы равна нулю следует измеримость по Жордану
Верно?

[Otta]

TAO45 в сообщении #1469307 писал(а):

множество внутренних точек, следовательно, оно не имеет границы,

Это неверно.

[TAO45]

Тогда оно должно иметь границу, совпадающую с границей исходного множества, разве нет? И тогда это будет тоже самое множество.
Я совсем запутался
Оно не будет открытым тк открестнсти этих точек не обязательно входят в изначальное множество...