Особые точки функции. (ТФКП)

[Alexey Rodionov]

Смотрю Шабата: точка $ a $ называется изолированной особой точкой функции $ f $ если существует такая проколотая окрестность этой точки, в которой функция голоморфна.
Смотрю Краткий курс Маркушевича – без существенных отличий.
Смотрю Алфорса – то же самое, только по-английски.
Два первых автора говорят, что бывают еще и неизолированные особые точки. Эти и вовсе определения не имеют. И про исследуемую функцию вне проколотой окрестности ничего не говорят. Рассмотрим $f : C \to C, f(z) = z $ для $ |z| \le 1 $ и $ f(z) = \operatorname{Re}(z)$ если $|z| > 1$. Каковы ее изолированные и неизолированные особые точки?

[TelmanStud]

Alexey Rodionov

Цитата:

Эти и вовсе определения не имеют.

В общем то, неизолированная особая точка это не изолированная особая точка.
Например, для $f(z)=\frac{1}{\sin \frac{1}{z}}$ точка $z=0$ не изолированная особая точка, точнее предел полюсов $z_n=\frac{1}{\pi n}$.

Цитата:

Рассмотрим $f : C \to C, f(z) = z $ для $ |z| \le 1 $ и $ f(z) = \operatorname{Re}(z)$ если $|z| > 1$. Каковы ее изолированные и неизолированные особые точки?

Изолированных особых точек нет, так как внутри круга Ваша функция голоморфна, вне круга таковым не является.
Если хотите можно сказать, что все точки вне Вашего круга включая границу - не изолированные особые точки.

[Alexey Rodionov]

В общем то, неизолированная особая точка это не изолированная особая точка.

Тогда надо бы сказать, что такое особая точка. А то, выходит, есть изолированные и неизолированные. Может быть, в духе времени и самоизолированные есть?

В книге Г. Полиа, Г. Сеге "Задачи и теоремы из анализа" задача 241. " Если степенной ряд имеет своим кругом сходимости единичный круг, причем на границе этого круга лежат лишь полюсы первого порядка (и нет никаких других особенностей), то тогда последовательность коэффициента ограничена"

Если сумма ряда определена в единичном круге, то откуда на границе полюса?

-- 13.06.2020, 14:59 --

Мне вот что мерещится. В начальном курсе ТФКП следует говорить об особенностях голоморфных функций. Их области определения – это открытые подмножества комплексной плоскости вложенной в расширенную . Особые – это граничные точки области определения. Их можно разделить на изолированные и неизолированные в топологии границы. Правда, постановку задачи у Сеге это не спасает.

[Someone]

Alexey Rodionov
В математической энциклопедии есть статья Лакунарный степенной ряд, в которой приведена такая
Теорема (Адамара о лакунах). Если последовательность натуральных чисел $\lambda_k,k\in\mathbb N$, удовлетворяет условию $\lambda_{k+1}>(1+\theta)\lambda_k,k\in\mathbb N$, где $\theta>0$, и ряд

$$f(z)=\sum_{k=1}^{\infty}a_kz^{\lambda_k}\eqno(*)$$

имеет радиус сходимости $R,0<R<+\infty$, то все точки окружности $\lvert z\rvert=R$ являются особыми для функции $f(z)$.
Возьмём теперь ряд

$$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{z^{2^k}}{k^2}.\eqno(**)$$

При $\lvert z\rvert\leqslant 1$ этот ряд мажорируется сходящимся рядом $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac 1{k^2}$, поэтому равномерно и абсолютно сходится в круге $\lvert z\rvert\leqslant 1$. При $\lvert z\rvert>1$ с помощью признака Даламбера легко проверить, что ряд $(**)$ расходится. По теореме Адамара каждая точка окружности $\lvert z\rvert=1$ является особой для суммы этого ряда, хотя ряд во всех точках окружности сходится.

В математической энциклопедии особая точка определяется как препятствие для аналитического продолжения элемента функции $f(z)$ вдоль какого-либо пути в комплексной плоскости.

[Alexey Rodionov]

>В математической энциклопедии особая точка определяется как препятствие

Поэты в математическую энциклопедию пишут... Смысл понятен. Меня раздражили определения в начальных курсах и постановка задачи у Сеге.

[Евгений Машеров]

(поправляя фуражку прапорщика Ясненько)
- А в Википедию заглянуть не пробовали?

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D1%81%D0%BE%D0%B1%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C_(%D0%BA%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7)