Теорема Ландау. ТФКП

[TelmanStud]

Доброго времени суток!
При доказательстве теоремы Ландау в учебнике Привалова приводятся следующие рассуждения:
Пусть $w=f(z)$ голоморфная внутри круга $\left|z\right|<1$ и выпускает (не принимает) два значения $0$ и $1$.
Строится вспомогательная функция

$$F(z)=\ln\left[\sqrt{\frac{\ln f(z)}{2\pi i}}-\sqrt{\frac{\ln f(z)}{2\pi}}-1\right]$$

и утверждается, что она голоморфна в $\left|z\right|<1$.

Никак не могу "усвоить" последнее утверждение. Разве $F(z)$ не многозначная и возможно (в зависимости от выбора вида $f(z)$) с точкой ветвления в $\left|z\right|<1$?

Благодарю заранее!

[Slav-27]

Я тоже не понял. Опечатка? Попробуйте какую-нибудь конкретную функцию, чтобы область значений содержала путь, обходящий 0, типа $f(z)=(z+3)^{10}$: сомневаюсь, что для неё $F$ будет иметь однозначную ветвь над единичным кругом.

[TelmanStud]

Slav-27
Не знаю, но голоморфность $F(z)$ необходима далее для правдивости самого доказательства.

[Null]

У функции
$H(z)=\sqrt{\frac{\ln f(z)}{2\pi i}}-\sqrt{\frac{\ln f(z)}{2\pi}}-1$
Взяв в любой точке ветвь логарифма и корней, можно продолжить её на всю область голоморфно. Почему $H(x)\neq 0$(нигде в области) в хотя бы при одном выборе ветвей надо проверять.

[Slav-27]

Null в сообщении #1468484 писал(а):

Взяв в любой точке ветвь логарифма и корней, можно продолжить её на всю область голоморфно.

А почему получится однозначная функция?

-- 12.06.2020, 20:51 --

Вот есть, например, функция $f(z)=(z+3)^{10}$, которая в круге $|z|\leqslant 1$ не зануляется. Но выделить однозначную ветвь её логарифма над этим кругом не получится: двигая $z$ от $-i$ к $i$, мы непрерывно изменим аргумент $f(z)$ на $2\pi i$. Чем та лучше?

[TelmanStud]

Null
Не совсем понял как Вы к этому пришли. Можете по подробнее сказать как вы анализировали $H(z)$. Мне кажется, что из за того что $f(z)$ не принимает значения $0$ мы не сможем пройдя вдоль любой окружности принадлежащей единичному кругу заработать фазу

Цитата:

Взяв в любой точке ветвь логарифма и корней, можно продолжить её на всю область голоморфно. Почему $H(x)\neq 0$(нигде в области) в хотя бы при одном выборе ветвей надо проверять.

Да уравнение $H(z)=0$ не имеет корней.

[Null]

Теорема о монодромии, если я не все забыл. Диск - односвязная область.

[TelmanStud]

Slav-27 в сообщении #1468494 писал(а):

Null в сообщении #1468484 писал(а):

Взяв в любой точке ветвь логарифма и корней, можно продолжить её на всю область голоморфно.

А почему получится однозначная функция?

-- 12.06.2020, 20:51 --

Вот есть, например, функция $f(z)=(z+3)^{10}$, которая в круге $|z|\leqslant 1$ не зануляется. Но выделить однозначную ветвь её логарифма над этим кругом не получится: двигая $z$ от $-i$ к $i$, мы непрерывно изменим аргумент $f(z)$ на $2\pi i$. Чем та лучше?

Мне кажется мы не наберем фазу $2 \pi i$, так как образ дуги от $-i$ к $i$ не будет содержать начало координат, соответственно фазы не будет

[Slav-27]

А образ единичного диска относительно функции $(z+3)^{10}$ -- неодносвязная. Почему для функции из 1-го поста должно получаться что-то односвязное, я не понимаю (более того, сильно в этом сомневаюсь).

-- 12.06.2020, 21:36 --

TelmanStud в сообщении #1468516 писал(а):

Мне кажется мы не наберем фазу $2 \pi i$, так как образ дуги от $-i$ к $i$ не будет содержать начало координат, соответственно фазы не будет

Он будет начинаться в левой полуплоскости выше вещественной оси, 1 раз обходить 0 против часовой стрелки и заканчиваться в левой полуплоскости ниже вещественной оси. $\arg (3+i)$ чуть больше $18^\circ$. Поэтому наберём.

-- 12.06.2020, 21:37 --

А какое утверждение вы в итоге хотите доказать?

[TelmanStud]

Пытаюсь просто разобраться в
https://ibb.co/Wnfcy7k

[Null]

Slav-27 в сообщении #1468494 писал(а):

Но выделить однозначную ветвь её логарифма над этим кругом не получится: двигая $z$ от $-i$ к $i$, мы непрерывно изменим аргумент $f(z)$ на $2\pi i$.

Получиться $10 \ln(3+z)$

[Slav-27]

Null
Да, прошу прощения, я написал ерунду... А почему то, что там под внешним логарифмом, не может обращаться в 0? А, вы уже написали, что это надо проверять.

[TelmanStud]

Slav-27 в сообщении #1468517 писал(а):

Он будет начинаться в левой полуплоскости выше вещественной оси, 1 раз обходить 0 против часовой стрелки и заканчиваться в левой полуплоскости ниже вещественной оси. $\arg (3+i)$ чуть больше $18^\circ$. Поэтому наберём.

Однако если мы сделаем полный оборот, индекс начала координат относительно полученной кривой все равно будет ноль.

Цитата:

А почему то, что там под внешним логарифмом, не может обращаться в 0

У меня свелось к уравнению

$$\sqrt{\ln f}=-\frac{2 \sqrt{\pi }}{-1+\sqrt{2}+i}\approx -1.25 + 3.02i$$

Число в правой части принадлежит второй четверти, и выбрав "правильный разрез" для $\sqrt$ (например вдоль отрицательной действительной оси) получим, что уравнение выше не имеет корней

[TelmanStud]

Null
Slav-27
вроде более менее разобрался. Спасибо!

[Null]

TelmanStud в сообщении #1468726 писал(а):

Число в правой части принадлежит второй четверти, и выбрав "правильный разрез" для $\sqrt$ (например вдоль отрицательной действительной оси) получим, что уравнение выше не имеет корней

А вот это неправильно, функция $\ln f$ может бегать вокруг 0 много раз, проверьте $f(x)=e^{x^2}$ - голоморфная, но при любом выборе ветви корня $\sqrt{\ln f}$ принимает любое значение.