2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Теорема Ландау. ТФКП
Сообщение11.06.2020, 23:00 
Аватара пользователя


05/04/13
580
Доброго времени суток!
При доказательстве теоремы Ландау в учебнике Привалова приводятся следующие рассуждения:
Пусть $w=f(z)$ голоморфная внутри круга $\left|z\right|<1$ и выпускает (не принимает) два значения $0$ и $1$.
Строится вспомогательная функция $$F(z)=\ln\left[\sqrt{\frac{\ln f(z)}{2\pi i}}-\sqrt{\frac{\ln f(z)}{2\pi}}-1\right]$$ и утверждается, что она голоморфна в $\left|z\right|<1$.

Никак не могу "усвоить" последнее утверждение. Разве $F(z)$ не многозначная и возможно (в зависимости от выбора вида $f(z)$) с точкой ветвления в $\left|z\right|<1$?

Благодарю заранее!

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ландау. ТФКП
Сообщение12.06.2020, 12:27 
Заслуженный участник


14/10/14
1220
Я тоже не понял. Опечатка? Попробуйте какую-нибудь конкретную функцию, чтобы область значений содержала путь, обходящий 0, типа $f(z)=(z+3)^{10}$: сомневаюсь, что для неё $F$ будет иметь однозначную ветвь над единичным кругом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ландау. ТФКП
Сообщение12.06.2020, 18:33 
Аватара пользователя


05/04/13
580
Slav-27
Не знаю, но голоморфность $F(z)$ необходима далее для правдивости самого доказательства.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ландау. ТФКП
Сообщение12.06.2020, 19:36 
Заслуженный участник


12/08/10
1677
У функции
$H(z)=\sqrt{\frac{\ln f(z)}{2\pi i}}-\sqrt{\frac{\ln f(z)}{2\pi}}-1$
Взяв в любой точке ветвь логарифма и корней, можно продолжить её на всю область голоморфно. Почему $H(x)\neq 0$(нигде в области) в хотя бы при одном выборе ветвей надо проверять.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ландау. ТФКП
Сообщение12.06.2020, 19:48 
Заслуженный участник


14/10/14
1220
Null в сообщении #1468484 писал(а):
Взяв в любой точке ветвь логарифма и корней, можно продолжить её на всю область голоморфно.
А почему получится однозначная функция?

-- 12.06.2020, 20:51 --

Вот есть, например, функция $f(z)=(z+3)^{10}$, которая в круге $|z|\leqslant 1$ не зануляется. Но выделить однозначную ветвь её логарифма над этим кругом не получится: двигая $z$ от $-i$ к $i$, мы непрерывно изменим аргумент $f(z)$ на $2\pi i$. Чем та лучше?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ландау. ТФКП
Сообщение12.06.2020, 19:52 
Аватара пользователя


05/04/13
580
Null
Не совсем понял как Вы к этому пришли. Можете по подробнее сказать как вы анализировали $H(z)$. Мне кажется, что из за того что $f(z)$ не принимает значения $0$ мы не сможем пройдя вдоль любой окружности принадлежащей единичному кругу заработать фазу
Цитата:
Взяв в любой точке ветвь логарифма и корней, можно продолжить её на всю область голоморфно. Почему $H(x)\neq 0$(нигде в области) в хотя бы при одном выборе ветвей надо проверять.

Да уравнение $H(z)=0$ не имеет корней.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ландау. ТФКП
Сообщение12.06.2020, 20:06 
Заслуженный участник


12/08/10
1677
Теорема о монодромии, если я не все забыл. Диск - односвязная область.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ландау. ТФКП
Сообщение12.06.2020, 20:32 
Аватара пользователя


05/04/13
580
Slav-27 в сообщении #1468494 писал(а):
Null в сообщении #1468484 писал(а):
Взяв в любой точке ветвь логарифма и корней, можно продолжить её на всю область голоморфно.
А почему получится однозначная функция?

-- 12.06.2020, 20:51 --

Вот есть, например, функция $f(z)=(z+3)^{10}$, которая в круге $|z|\leqslant 1$ не зануляется. Но выделить однозначную ветвь её логарифма над этим кругом не получится: двигая $z$ от $-i$ к $i$, мы непрерывно изменим аргумент $f(z)$ на $2\pi i$. Чем та лучше?

Мне кажется мы не наберем фазу $2 \pi i$, так как образ дуги от $-i$ к $i$ не будет содержать начало координат, соответственно фазы не будет

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ландау. ТФКП
Сообщение12.06.2020, 20:33 
Заслуженный участник


14/10/14
1220
А образ единичного диска относительно функции $(z+3)^{10}$ -- неодносвязная. Почему для функции из 1-го поста должно получаться что-то односвязное, я не понимаю (более того, сильно в этом сомневаюсь).

-- 12.06.2020, 21:36 --

TelmanStud в сообщении #1468516 писал(а):
Мне кажется мы не наберем фазу $2 \pi i$, так как образ дуги от $-i$ к $i$ не будет содержать начало координат, соответственно фазы не будет
Он будет начинаться в левой полуплоскости выше вещественной оси, 1 раз обходить 0 против часовой стрелки и заканчиваться в левой полуплоскости ниже вещественной оси. $\arg (3+i)$ чуть больше $18^\circ$. Поэтому наберём.

-- 12.06.2020, 21:37 --

А какое утверждение вы в итоге хотите доказать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ландау. ТФКП
Сообщение12.06.2020, 20:46 
Аватара пользователя


05/04/13
580
Пытаюсь просто разобраться в
https://ibb.co/Wnfcy7k

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ландау. ТФКП
Сообщение12.06.2020, 20:54 
Заслуженный участник


12/08/10
1677
Slav-27 в сообщении #1468494 писал(а):
Но выделить однозначную ветвь её логарифма над этим кругом не получится: двигая $z$ от $-i$ к $i$, мы непрерывно изменим аргумент $f(z)$ на $2\pi i$.

Получиться $10 \ln(3+z)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ландау. ТФКП
Сообщение12.06.2020, 21:32 
Заслуженный участник


14/10/14
1220
Null
Да, прошу прощения, я написал ерунду... А почему то, что там под внешним логарифмом, не может обращаться в 0? А, вы уже написали, что это надо проверять.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ландау. ТФКП
Сообщение12.06.2020, 22:38 
Аватара пользователя


05/04/13
580
Slav-27 в сообщении #1468517 писал(а):
Он будет начинаться в левой полуплоскости выше вещественной оси, 1 раз обходить 0 против часовой стрелки и заканчиваться в левой полуплоскости ниже вещественной оси. $\arg (3+i)$ чуть больше $18^\circ$. Поэтому наберём.

Однако если мы сделаем полный оборот, индекс начала координат относительно полученной кривой все равно будет ноль.
Цитата:
А почему то, что там под внешним логарифмом, не может обращаться в 0

У меня свелось к уравнению
$$\sqrt{\ln f}=-\frac{2 \sqrt{\pi }}{-1+\sqrt{2}+i}\approx -1.25 + 3.02i$$
Число в правой части принадлежит второй четверти, и выбрав "правильный разрез" для $\sqrt$ (например вдоль отрицательной действительной оси) получим, что уравнение выше не имеет корней

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ландау. ТФКП
Сообщение13.06.2020, 19:13 
Аватара пользователя


05/04/13
580
Null
Slav-27
вроде более менее разобрался. Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ландау. ТФКП
Сообщение13.06.2020, 19:24 
Заслуженный участник


12/08/10
1677
TelmanStud в сообщении #1468726 писал(а):
Число в правой части принадлежит второй четверти, и выбрав "правильный разрез" для $\sqrt$ (например вдоль отрицательной действительной оси) получим, что уравнение выше не имеет корней

А вот это неправильно, функция $\ln f$ может бегать вокруг 0 много раз, проверьте $f(x)=e^{x^2}$ - голоморфная, но при любом выборе ветви корня $\sqrt{\ln f}$ принимает любое значение.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group