CS центр. вступительный экзамен 2017. задача 8.

[panarin]

Здравствуйте! На вступительном экзамене в CS центр была предложена вот такая задача

Посчитайте количество действительных корней уравнения$f’(x)=0$, если $f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)$. Найдите интервалы, каждый из которых содержит ровно по одному корню. Полученные интервалы не должны пересекаться.

Я предложил следующее решение:

Функция $f(x)$ представляет из себя полином степени 5, а его корни равны 1, 2, 3, 4, 5.
Ясно, что $f'(x)$ будет полиномом степени 4, таким образом максимальное количество действительных корней $f'(x)$ равно 4. Рассмотрим интервалы $(-\inf, 1)$, $(1, 2)$, $(2, 3)$, $(3, 4)$, $(4, 5)$, $(5, \inf)$. Т.к. у $f(x)$ нет кратных корней, то функция является знакочередующейся на этих интервалах. Т.е. на интервале $(-\inf, 1)$ $f(x)<0$, на $(1, 2)$ $f(x)>0$, на $(2,3)$ $f(x)<0$ и т.д.
Рассмотрим два соседних корня $f(x)$. Между ними лежит хотя бы 1 корень $f'(x)$, т.к. для того чтобы функция сменила знак, ей нужно пересечь ось абсцисс, но и далее в силу знакочередования значений функции на интервалах, которые приведены выше, мы приходим к выводу, что таких интервалов, где функция должна иметь значение производной равной нулю ровно 4.
Следовательно, в интервалах $(1, 2)$, $(2, 3)$, $(3, 4)$, $(4, 5)$ лежит ровно по одному корню $f'(x)$, а всего корней 4.

Но получил 1 балл из 6 за него. Помогите, пожалуйста, разобраться в чем я ошибся?
После опубликования результатов попробовал решить эту задачу используя wolframalpha: link. Не могу найти противоречий со своим ответом.

[popolznev]

panarin в сообщении #1216311 писал(а):

Рассмотрим два соседних корня f(x). Между ними лежит хотя бы 1 корень f'(x), т.к. для того чтобы функция сменила знак, ей нужно пересечь ось абсцисс

Вот этот момент не нравится. О какой функции вы говорите здесь, что она меняет знак? Если об $f$, так между соседними нулями она не меняет знак. Если об $f'$ - вы не показали, что в точках, которые являются соседними нулями функции $f$, ее производная имеет разные знаки.

То есть само по себе утверждение "между нулями функции лежит нуль производной" верно, но в вашем тексте оно неверно обосновано.

[Brukvalub]

panarin в сообщении #1216311 писал(а):

для того чтобы функция сменила знак, ей нужно пересечь ось абсцисс

Вот слева и справа от $\frac{\pi}{2}$ функция $\tg x$ имеет разные знаки, а ось-то не пересекает!

[Karan]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Karan]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[panarin]

popolznev в сообщении #1216315 писал(а):

panarin в сообщении #1216311 писал(а):

Рассмотрим два соседних корня f(x). Между ними лежит хотя бы 1 корень f'(x), т.к. для того чтобы функция сменила знак, ей нужно пересечь ось абсцисс

Вот этот момент не нравится. О какой функции вы говорите здесь, что она меняет знак? Если об $f$, так между соседними нулями она не меняет знак. Если об $f'$ - вы не показали, что в точках, которые являются соседними нулями функции $f$, ее производная имеет разные знаки.

То есть само по себе утверждение "между нулями функции лежит нуль производной" верно, но в вашем тексте оно неверно обосновано.

Речь шла о функции $f(x)$, т.к. на момент написания решения казалось уместным относить слово функция к $f(x)$, а если необходимо обратиться к $f'(x)$, то употреблять словосочетание "производная функции". О смене знака: имеется ввиду, что функция на каждом интервале (указаны выше в решении) должна иметь разный знак, тем более там указано, на каких интервалах функция положительна, например, поэтому ясно, что не может функция между своими соседними корнями сменить еще раз знак. Но я понял, что по Вашему мнению могло смутить проверяющего. Спасибо.

-- 14.05.2017, 17:07 --

Brukvalub в сообщении #1216316 писал(а):

panarin в сообщении #1216311 писал(а):

для того чтобы функция сменила знак, ей нужно пересечь ось абсцисс

Вот слева и справа от $\frac{\pi}{2}$ функция $\tg x$ имеет разные знаки, а ось-то не пересекает!

Вы, конечно, правы. Но речь в задаче все-таки идет о функции, которая из себя представляет обыкновенный полином 5й степени.

[Brukvalub]

panarin в сообщении #1216324 писал(а):

Вы, конечно, правы. Но речь в задаче все-таки идет о функции, которая из себя представляет обыкновенный полином 5й степени.

Вы, конечно, правы, но утверждение-то вы сформулировали так, что в нем речь идет просто о "функции"...

[popolznev]

panarin в сообщении #1216324 писал(а):

popolznev в сообщении #1216315 писал(а):

panarin в сообщении #1216311 писал(а):

Рассмотрим два соседних корня f(x). Между ними лежит хотя бы 1 корень f'(x), т.к. для того чтобы функция сменила знак, ей нужно пересечь ось абсцисс

Вот этот момент не нравится. О какой функции вы говорите здесь, что она меняет знак?

Речь шла о функции $f(x)$

Ну а какое отношение имеет смена знака функцией $f$ к нулям её производной?

[ewert]

panarin в сообщении #1216311 писал(а):

Между ними лежит хотя бы 1 корень $f'(x)$, т.к. для того чтобы функция сменила знак, ей нужно пересечь ось абсцисс, но и далее в силу знакочередования значений функции на интервалах, которые приведены выше, мы приходим к выводу, что таких интервалов, где функция должна иметь значение производной равной нулю ровно 4.

Ну и как Вы приходите к этому выводу? Нет, понятно: Вы смутно догадываетесь, что функция идёт сперва туды, потом сюды и, значит, где-то должна остановиться. Только это всё не более чем лирика, к тому же потаённая.

И всё это вместо того, чтобы тупо сослаться на теорему Ролля.

[panarin]

popolznev в сообщении #1216330 писал(а):

[Ну а какое отношение имеет смена знака функцией $f$ к нулям её производной?

Дело в том, что мне нужно было определить не только где корень производной, но и кол-во таких корней для правильного указания интервалов, в которых они содержатся в ответе. Поэтому я добавил слова о смене знака, а выше еще писал о том, что кратных корней нет. Если это будет удобно, то в голове у меня возникает график, напоминающий параболу на рассматриваемом интервале, так что корни ее были в точках, равных двум рассматриваемым корням. Просто ведь могла быть ситуация, когда функция f бы коснулась только оси, тогда бы имели еще один корень и нужно было бы думать о более лучшем подборе границ интервалов.

[ewert]

panarin в сообщении #1216334 писал(а):

Просто ведь могла быть ситуация, когда функция f бы коснулась только оси, тогда бы имели еще один корень и нужно было бы думать о более лучшем подборе границ интервалов.

А от Вас и не требовалось подбирать сильно более гораздо лучшие границы. Если Вы знаете интервалы, на которых гарантированно есть хотя бы по одному корню, и знаете, что большего количества корней быть не может, то больше ничего и не нужно.

[bot]

На месте проверяющего, я бы тоже 1 балл поставил.

[TOTAL]

panarin в сообщении #1216324 писал(а):

поэтому ясно, что не может функция между своими соседними корнями сменить еще раз знак

1) Разрывная может сменить,
2) а непрерывная не может просто потому, что корни соседние.

[ewert]

(Оффтоп)

bot в сообщении #1216529 писал(а):

На месте проверяющего, я бы тоже 1 балл поставил.

Ну да, у меня тоже ровно такое соотношение сложилось изначально -- один из шести примерно так. Т.е. товарищ явно смутно догадывается, об чём речь, и это хорошо; но не догадывается, об чём конкретно он догадывается. Примерно одна шестая и выходит.

[toofack]

Все верно, но нужно было сказать, что ваше утверждение верно, сославшись на эту теорему https://ru.qwe.wiki/wiki/Gauss%E2%80%93Lucas_theorem