Задача по теории групп

[B@R5uk]

B@R5uk в сообщении #1467658 писал(а):

А какие-то закономерности, когда $\mathbb Z_n \times \mathbb Z_m$ имеет ранг 1, а когда 2, заметили?

Я как-то решил посмотреть какие ранги и максимальные порядки элементов получаются у прямых произведений $\operatorname{Dih}_n\times\mathbb{Z}_m$. Некоторые закономерности проглядываются, но в целом — это жесть.

-- 08.06.2020, 21:52 --

mihaild в сообщении #1467659 писал(а):

B@R5uk в сообщении #1467658 писал(а):

Меня смутило то, что множители перераспределяются так, что бы в произведении $\mathbb{Z}_{n_1}\times\mathbb{Z}_{n_2}\times\mathbb{Z}_{n_3}\times...$

Вот это непонятно. Мы начали с произведения двух циклических групп, дальше вы его как-то раскладываете в произведение циклических групп - как?

Это я имею в виду в общем случае. Когда умножается много циклических групп. Если добавить к требованию убывания порядков минимальность числа множителей в представлении, то такое представление единственно (по идее).

[mihaild]

B@R5uk в сообщении #1467664 писал(а):

Некоторые закономерности проглядываются, но в целом — это жесть

Ну как минимум с порядками же должно быть совсем просто. Пусть у нас есть прямое произведение $A \times B$ и его элемент $(a, b)$. Как порядок $(a, b)$ выражается через порядки $a$ и $b$?

B@R5uk в сообщении #1467664 писал(а):

Если добавить к требованию убывания порядков минимальность числа множителей в представлении, то такое представление единственно

Нет, $\mathbb Z_8 \times \mathbb Z_6 \cong \mathbb Z_24 \times \mathbb Z_2$.
Тут интересно посмотреть как раз не на минимальное, а на максимальное число множителей (нетривиальных, естественно). Ну это собственно будет вышеупомянутая теорема о классификации конечнопорожденных абелевых групп.

[B@R5uk]

mihaild в сообщении #1467666 писал(а):

Пусть у нас есть прямое произведение $A \times B$ и его элемент $(a, b)$. Как порядок $(a, b)$ выражается через порядки $a$ и $b$?

Если порядки a и b взаимно просты, то их надо помножить. Если же у них есть общий делитель, то оба множителя надо сначала на него сократить, а потом произведение на него умножить (или произведение поделить, что то же самое). Пожалуй, когда n и m достаточно велики, то максимальный порядок элемента будет даваться формулой $n\cdot m\;/\gcd(n,\;m)$, но при малых их значениях есть тонкости. Например, в группе $\operatorname{Dih}_5\times\mathbb{Z}_5$ максимальный порядок элемента 10, а не 5.

Вообще, вот табличка:

Используется синтаксис Text

        Z_2     Z_3     Z_4     Z_5     Z_6     Z_7     Z_8     Z_9
Dih_2   3/2     2/6     3/4     2/10    3/6     2/14    3/8     2/18
Dih_3   2/6     2/6     2/12    2/15    2/6     2/21    2/24    2/18
Dih_4   3/4     2/12    3/4     2/20    3/12    2/28    3/8     2/36
Dih_5   2/10    2/15    2/20    2/10    2/30    2/35    2/40    2/45
Dih_6   3/6     2/6     3/12    2/30    3/6     2/42    3/24    2/18
Dih_7   2/14    2/21    2/28    2/35    2/42    2/14    2/56    2/63
Dih_8   3/8     2/24    3/8     2/40    3/24    2/56    2/8     2/72
Dih_9   2/18    2/9     2/36    2/45    2/18    2/63    2/72    2/18
Dih_10  3/10    2/30    3/20    2/10    3/30    2/70    3/40    2/90
Dih_11  2/22    2/33    2/44    2/55    2/66    2/77    2/88    2/99
Dih_12  3/12    2/12    3/12    2/60    3/12    2/84    3/24    2/36
 

-- 08.06.2020, 22:42 --

Кстати, тут вот вспомнилось. Как-то хотел найти конечную группу 3-го ранга, чтобы все три образующие были перепутаны (не коммутировали). Что-то так и не получилось. По крайней мере одна пара должна коммутировать, иначе конечной группы не получается.

[Утундрий]

B@R5uk в сообщении #1467673 писал(а):

Как-то хотел найти конечную группу 3-го ранга, чтобы все три образующие были перепутаны (не коммутировали). Что-то так и не получилось. По крайней мере одна пара должна коммутировать, иначе конечной группы не получается.

А если перейти на тернарные операции?

[mihaild]

B@R5uk в сообщении #1467673 писал(а):

формулой $n\cdot m\;/\gcd(n,\;m)$,

Эта величина так же известна как наименьшее общее кратное $n$ и $m$.

B@R5uk в сообщении #1467673 писал(а):

Пожалуй, когда n и m достаточно велики, то максимальный порядок элемента будет даваться формулой $n\cdot m\;/\gcd(n,\;m)$,

Непонятно почему (и откуда тут могла бы быть зависимость от величины).
Ну вот если мы знаем, какие порядки бывают у сомножителей в прямом произведении, то мы знаем и порядки элементов самого прямого произведения - это их НОКи.

B@R5uk в сообщении #1467673 писал(а):

конечную группу 3-го ранга, чтобы все три образующие были перепутаны (не коммутировали)

Вроде бы группа вида $\mathbb Z_8 \ltimes \mathbb Z_4 \ltimes \mathbb Z_2$ с порождающими $a, b, c$ и соотношениями $a^8 = b^4 = c^2 = e$ и $ba = a^3b$, $ca = a^7c$ и $cb = b^3c$ подходит. Численно проверил, всё вроде сходится https://gist.github.com/d07b7cd339c95a4 ... c0b1a7698a. Правда как красиво доказать, что ранг 3, и нельзя породить 3 элементами, какие-нибудь два из которых коммутируют - не знаю.

[B@R5uk]

Решил покрутить одну из самых первых групп, которая мне попалась $\mathbb{Z}_8\rtimes_3\mathbb{Z}_2$. У группы есть три класса порождающих множеств: 2-8, 2-4 и 4-8. Графы Кэли для них, соответственно:



У группы есть элемент, который коммутирует со всеми остальными (выделен тем же цветом, что и нейтральный). В представлении 4-8 группа очень похожа на дициклическую группу $\operatorname{Dic}_4$, но это только кажется: зелёные ромбики чередуют направление обхода от ромбика к ромбику. Хотя закономерность видна: у дициклических групп чётного порядка можно "поправить" направление обхода и получится новая группа. Я как-то радовался, что на графе группы есть циклы, соответствующие разным образующим, но имеющие нетривиальное множество общих элементов. На самом деле это довольно частое явление, достаточно присмотреться к графам циклов групп в вики.

Странно, что прямые и обратные элементы ($b^3$ и $b^5$, например) в нормальной подгруппе входят в разные классы эквивалентности, хотя программа мне говорит, что они взаимозаменяемы, и существуют автоморфизмы переводящие прямой элемент в обратный. Надо взять на заметку, что такое бывает. Группой автоморфизмов этой группы, судя по размеру и числу элементов 2-го порядка (16 и 11, соответственно), является группа $\operatorname{Dih}_4\times\,\mathbb{Z}_2$ (если верить списку групп малого порядка в вики).

Граф подгрупп:


Цветом помечены сопряжённые подгруппы, белым — нормальные. Первый символ в названии подгрупп означает ранг: C — это циклическая (ранг 1), A — ранг 2, B — ранг 3, D — ранг 4 и так далее. Первая цифра — порядок подгруппы. Подгруппы A4-1 и A4-2 — это группы Клейна (другого не дано для групп ранга 2 с 4-я элементами). Подгруппа A8-1 — это $\operatorname{Dih}_4$ (8 элементов, 5 элементов 2-го порядка, не абелева). Подгруппа A8-2 — это группа кватернионов $\operatorname{Q}_8$ (не абелева, 8 элементов, 1 элемент 2-го порядка). С2-5 — центр.

Таблица умножения:

Используется синтаксис Text

I     I     I       0   1   2   3   4   5   6   7   8   9  10  11  12  13  14  15
b     b     dc      1   2   3   4   5   6   7   0   9  10  11  12  13  14  15   8
b^2   b^2   (dc)^2  2   3   4   5   6   7   0   1  10  11  12  13  14  15   8   9
b^3   b^3   cd      3   4   5   6   7   0   1   2  11  12  13  14  15   8   9  10
b^4   b^4   d^2     4   5   6   7   0   1   2   3  12  13  14  15   8   9  10  11
b^5   b^5   d^3c    5   6   7   0   1   2   3   4  13  14  15   8   9  10  11  12
b^6   b^6   (cd)^2  6   7   0   1   2   3   4   5  14  15   8   9  10  11  12  13
b^7   b^7   cd^3    7   0   1   2   3   4   5   6  15   8   9  10  11  12  13  14
c     b^7d  c       8  11  14   9  12  15  10  13   0   3   6   1   4   7   2   5
bc    d     d       9  12  15  10  13   8  11  14   1   4   7   2   5   0   3   6
b^2c  bd    dcd    10  13   8  11  14   9  12  15   2   5   0   3   6   1   4   7
b^3c  b^2d  cdc    11  14   9  12  15  10  13   8   3   6   1   4   7   2   5   0
b^4c  b^3d  cd^2   12  15  10  13   8  11  14   9   4   7   2   5   0   3   6   1
b^5c  d^3   d^3    13   8  11  14   9  12  15  10   5   0   3   6   1   4   7   2
b^6c  b^5d  dcd^3  14   9  12  15  10  13   8  11   6   1   4   7   2   5   0   3
b^7c  b^6d  cd^3c  15  10  13   8  11  14   9  12   7   2   5   0   3   6   1   4
 

[B@R5uk]

Я вот тут думаю. Классы сопряжённости элементов группы непосредственно связаны с её автоморфизмами: внутренние автоморфизмы переставляют элементы только внутри класса сопряжённости. Однако, внутренние автоморфизмы — это лишь вершина айсберга, а в случае абелевых групп и она не видна. Поэтому, не будет ли разбиение элементов группы на классы эквивалентности в соответствии со всеми автоморфизмами группы более информативно? Таких классов будет меньше, они будут содержать больше элементов, включая в себя действительно все элементы с одинаковыми свойствами (иначе бы их нельзя было бы перевести друг в друга с помощью автоморфизма), а не только те, что переводятся друг в друга сопряжением. Это особенно касается абелевых групп, для которых классы сопряжённости вообще не несут никакой информации. Такого рода классы эквивалентности элементов имеют какое-нибудь специальное название?

[mihaild]

Очевидный и неинтересный вариант - орбиты относительно группы автоморфизмов.
Специальное название не попадалось.

[B@R5uk]

Нашёл в интернетах вариант изображения графа Кэли для группы тетраэдра $A_4$ типа 2-3:



Пожалуй, это самое концептуально верное начертание этого графа, потому что группа Клейна $K_4$ является нормальной подгруппой $A_4$. Кстати, почему-то в списке групп малого порядка в Вики (не смотря на наличие фактроризаций всяких групп диэра и даже циклов) не было разложения $A_4=K_4\rtimes\,\mathbb{Z}_3$, которое однозначно существует, задаваемое, например, соотношениями $\left\langle x^2=y^2=(xy)^2=z^3=I,\;z^{-1}xz=y,\;z^{-1}yz=xy\right\rangle$

Ещё я сделал такое наблюдение: автоморфизмы группы внешних автоморфизмов $\operatorname{Out}(G)$ переставляют элементы только в пределах подгрупп группы $G$, какой бы эта подгруппа не была. И только сопряжения, соответствующие группе внутренних автоморфизмов $\operatorname{Int}(G)$, могут перевести элементы $G$ из одной её подгруппы в другую (давая, таким образом, сопряжённые подгруппы). Наглядный пример: любая абелева группа. Не смотря на то, что группа автоморфизмов $\operatorname{Aut}(G)$ как правило не пуста, элементы остаются внутри своих подгрупп просто потому, что все подгруппы абелевой группы нормальные.

С этим наблюдением наверняка связана какая-нибудь давно доказанная теорема. Кто-нибудь может дать ссылочку на неё? Или же всё-таки это наблюдение в общем случае не верно?

[vpb]

B@R5uk в сообщении #1468222 писал(а):

автоморфизмы группы внешних автоморфизмов $\operatorname{Out}(G)$ переставляют элементы только в пределах подгрупп группы $G$,

Элементы из $\operatorname{Out}(G)$ вообще не переставляют элементы группы $G$, потому что элементы из $\operatorname{Out}(G)$ --- это не автоморфизмы, а классы из факторгруппы $\operatorname{Out}(G)=\operatorname{Aut}(G)/\operatorname{Int}(G)$. Часто, впрочем, допуская вольность речи, "внешним автомофизмом" группы называется любой автоморфизм, не являющийся внутренним.

[B@R5uk]

vpb, а фактор-группа группы G по любой её нормальной подгруппе разве сама не является подгруппой группы G?

-- 11.06.2020, 18:35 --

Или (если уж придираться к каждому слову и считать фактор-группу как некий новый объект) не существует ли всегда в группе G подгруппы изоморфной фактор-группе? Если да, то почему бы эти два понятия не отождествлять для удобства?

[mihaild]

B@R5uk в сообщении #1468237 писал(а):

а фактор-группа группы G по любой её нормальной подгруппе разве сама не является подгруппой группы G?

Нет, она даже состоит из других элементов:)

B@R5uk в сообщении #1468237 писал(а):

не существует ли всегда в группе G подгруппы изоморфной фактор-группе?

И подгруппу, изоморфную фактору, она тоже содержать не обязана: возьмите $\mathbb Z / 2\mathbb Z$ хотя бы.

-- 11.06.2020, 19:04 --

B@R5uk в сообщении #1468222 писал(а):

переставляют элементы только в пределах подгрупп группы $G$

Непонятно. Возьмем группу $\mathbb Z_2 \times \mathbb Z_2$. Автоморфизм, переводящие $(a, b)$ в $(b, a)$, переводит элемент $(1, 0)$ из подгруппы $\mathbb Z_2 \times \{0\}$ в элемент не из этой подгруппы.

[B@R5uk]

mihaild в сообщении #1468247 писал(а):

Возьмем группу $\mathbb Z_2 \times \mathbb Z_2$.

Да, я был не прав, спасибо. Пример тривиальный и очевидный. Не заметить это тем досаднее, что я прямо только что находил косое произведение с этой группой Клейна, требующее её автоморфизмов. Сейчас пытаюсь последовательно вспомнить откуда моё недоразумение вырасло.

mihaild в сообщении #1468247 писал(а):

И подгруппу, изоморфную фактору, она тоже содержать не обязана: возьмите $\mathbb Z / 2\mathbb Z$ хотя бы.

ОК. Про бесконечные группы я даже не задумывался, действительно получается совсем новый объект. Однако, я всё же настаиваю на своём вопросе для случая конечных групп.

Всегда ли в конечной группе $G$ найдётся подгруппа, изоморфная фактор-группе $G/N$ по нормальной подгруппе $N$ группы $G$ ?

[mihaild]

Не всегда. Вроде бы минимальный пример - группа кватернионов, $\langle -1, i, j, k | (-1)^2 = 1, i^2 = j^2 = ijk = -1\rangle$. Сможете найти в ней нормальную подгруппу, фактор по которой не является подгруппой?

[B@R5uk]

mihaild в сообщении #1468252 писал(а):

Вроде бы минимальный пример - группа кватернионов

Действительно, в вики так и написано:

Цитата:

Наименьшая группа $G$, демонстрирующая, что для нормальной подгруппы $H$ факторгруппа $G/H$ не обязательно изоморфна подгруппе $G$.

Это означает, что мне надо добавить ещё один пункт в список исследования групп: поиск фактор-групп для всех нормальных подгрупп группы. Спасибо за разъяснение. Жизнь всегда сложнее, чем кажется на первый взгляд.