Основы меры Лебега

[pandemodeus]

Здравствуйте, начал изучать меру Лебега, уже на начальном этапе столкнулся с несколькими недопониманиями. Помогите, пожалуйста, уяснить следующие моменты.
1) Вводится определение внутренней точки множества: Точка $x$ называется внутренней точкой множества $E$, если найдется некоторая окрестность точки $x$, целиком принадлежащая множеству $E$
И предельной точки: Точка $x$ называется предельной точкой множества $E$, если в любой окрестности $v(x)$ точки $x$ найдется хотя бы 1 точка $x^{1}$ множества $E$, отличная от $x$
Интуитивный смысл этих определений мне понятен. Непонятно вот что: Предельная точка не может быть внутренней, так как какую бы маленькую окрестность этой точки мы ни взяли, она не будет целиком лежать в множестве. А почему внутренняя точка не может быть предельной? Рассмотрим, например, круг радиуса $R$, возьмем внутреннюю точку, пусть это будет центр круга. Тогда получается, что какую бы окрестность мы ни взяли, там будет хотя бы 1 точка, не равная центру окружности и лежащая в круге. В чем ошибка?
2) Есть теорема, которая гласит, что любое открытое множество точек бесконечной прямой представляет собой сумму конечного или счетного числа попарно непересекающихся интервалов.
Доказательство произодится так: Пусть $G$ - любое открытое множество, а $x$-произвольная фиксированная точка $G$. Рассмотрим сумму всех содержащихся в $G$ окрестностей $v(x)$ данной точки $x$. Обозначим эту сумму за $I(x)$. Далее доказывается то $I(x)$-интервал, это понятно. По сути можно сказать, что $I(x)$-это наибольший интервал, содержащий точку $x$ и содержащийся в $G$. Дальше идет утверждение, которое мне не понятно: Если интервалы $I(x_1)$ и $I(x_2)$ построены для 2х различных фиксированных точек $x_1$ и $x_2$ множества $G$, то эти интервалы либо не имеют общих точек, либо совпадают между собой.
Возьмем, например множество $G=(-5,5)$ на числовой прямой. Пусть точка $x_1=-3$, а $x_2=-2$. Тогда $I(x_1)$(максимальная окрестность точки $x_1$) равна $(-5,-1)$, а $I(x_2)$ - $(-5,1)$. Эти интервалы пересекаются, и не совпадают между собой. Где я ошибаюсь?

[Padawan]

pandemodeus в сообщении #1467590 писал(а):

Предельная точка не может быть внутренней, так как какую бы маленькую окрестность этой точки мы ни взяли, она не будет целиком лежать в множестве. А почему внутренняя точка не может быть предельной?

И предельная может быть внутренней, и внутренняя может быть предельной (а в $\mathbb R^n$ внутренняя всегда является предельной)

[mihaild]

pandemodeus в сообщении #1467590 писал(а):

Тогда $I(x_1)$(максимальная окрестность точки $x_1$) равна $(-5,-1)$,

Почему? Куда например окрестность $(-4, 2)$ делась?

pandemodeus в сообщении #1467590 писал(а):

Рассмотрим сумму всех содержащихся в $G$ окрестностей $v(x)$ данной точки $x$

Вот тут надо брать не "сумму окрестностей", а объединение всех интервалов, содержащих $x$.

[george66]

Возьмём множество, состоящее из отрезка $[0,1]$ и точки $2$. Точка $2$ изолированная, в некоторой её окрестности нет других точек этого множества. Все остальные точки предельные. Внутренними будут точки интервала $(0,1)$. Точки $0,1$ не внутренние (лежат не внутри, а на границе). Для интервала $(0,1)$ точки $0,1$ предельные, хотя вообще ему не принадлежат.

[pandemodeus]

mihaild в сообщении #1467592 писал(а):

Почему? Куда например окрестность $(-4, 2)$ делась?

Всегда считал, что окрестность - это симметричный промежуток $(x-\varepsilon,x+\varepsilon)$
Я ошибаюсь? Если да, то в таком случае максимальная окрестность точки $x$ всегда будет совпадать с самим множеством $G$, разве нет?

-- 08.06.2020, 16:13 --

george66 в сообщении #1467598 писал(а):

Возьмём множество, состоящее из отрезка $[0,1]$ и точки $2$. Точка $2$ изолированная, в некоторой её окрестности нет других точек этого множества. Все остальные точки предельные. Внутренними будут точки интервала $(0,1)$. Точки $0,1$ не внутренние (лежат не внутри, а на границе). Для интервала $(0,1)$ точки $0,1$ предельные, хотя вообще ему не принадлежат.

Ну исходя из определения ведь получается, что вообще все точки интервала $(0,1)$ - это предельные точки, а не только точки 0 и 1

[george66]

Окрестность точки - это любой открытый интервал (не обязательно симметричный), содержащий эту точку. По техническим причинам удобно считать окрестностью также "всё, что больше" (любое множество, содержащее какой-то открытый интервал, содержащий эту точку). Само множество может не быть окрестностью своей точки. Например, одноточечное множество $\{1\}$ не является окрестностью $1$ (интервала нет).

[mihaild]

pandemodeus в сообщении #1467599 писал(а):

Всегда считал, что окрестность - это симметричный промежуток $(x-\varepsilon,x+\varepsilon)$

Есть несколько определений окрестности: открытый шар с центром в данной точке; открытый шар, содержащий данную точку; произвольное открытое множество, содержащее данную точку. В данном доказательстве нужно брать второе.

[pandemodeus]

mihaild в сообщении #1467605 писал(а):

Есть несколько определений окрестности: открытый шар с центром в данной точке; открытый шар, содержащий данную точку; произвольное открытое множество, содержащее данную точку. В данном доказательстве нужно брать второе.

А в каких тогда случаях $I(x_1)$ и $I(x_2)$ не будут совпадать и не будут пересекаться? Не могли бы помочь найти такой пример?

[mihaild]

pandemodeus в сообщении #1467607 писал(а):

А в каких тогда случаях $I(x_1)$ и $I(x_2)$ не будут совпадать и не будут пересекаться?

Сформулируйте полностью вопрос, пожалуйста. Потому что на текущий момент он выглядит странно с учетом

pandemodeus в сообщении #1467590 писал(а):

Если интервалы $I(x_1)$ и $I(x_2)$ построены для 2х различных фиксированных точек $x_1$ и $x_2$ множества $G$, то эти интервалы либо не имеют общих точек, либо совпадают между собой

[pandemodeus]

mihaild в сообщении #1467615 писал(а):

Если интервалы $I(x_1)$ и $I(x_2)$ построены для 2х различных фиксированных точек $x_1$ и $x_2$ множества $G$, то эти интервалы либо не имеют общих точек, либо совпадают между собой

Вот это-то утверждение для меня пока и не понятно. Я пытаюсь его осмыслить, для чего хочу рассмотреть различные варианты расположения окрестностей и соответствующие примеры. Если использовать определение окрестности точки ту, что вы порекомендовали, то получается для множества из моего примера оба интервала $I(x_1)$ и $I(x_2)$ будут совпадать со всем множеством, ибо они являются максимальными окрестностями. Теперь я пытаюсь рассмотреть случай, когда эти 2 интервала не совпадут, и уяснить, почему в этом случае они никогда не будут иметь общих точек. Пример пока не получается подобрать. Если рассмотреть, например, множество $(-5,0)\cup (2,5)$, то как будет выглядеть максимальная окрестность точки, скажем, -2?

[mihaild]

pandemodeus в сообщении #1467645 писал(а):

Если рассмотреть, например, множество $(-5,0)\cup (2,5)$, то как будет выглядеть максимальная окрестность точки, скажем, -2?

А как вы думаете? Какие, например, бывают окрестноти (по второму определению, т.е. интервалы, содержащие точку) у $-2$ в вашем множестве? Что будет, если все такие окрестности объединить? А если то же самое проделать для точки $3$?

pandemodeus в сообщении #1467645 писал(а):

почему в этом случае они никогда не будут иметь общих точек

Пусть два интервала имеют общую точку. Что тогда можно сказать про их объединение? Будет ли оно само интервалом?

[pandemodeus]

mihaild в сообщении #1467647 писал(а):

А как вы думаете? Какие, например, бывают окрестноти (по второму определению, т.е. интервалы, содержащие точку) у $-2$ в вашем множестве? Что будет, если все такие окрестности объединить? А если то же самое проделать для точки $3$?

Думаю, что для точки -2 максимальной окрестностью будет интервал (-5,0). Следовательно, и объединеним всех окрестностей будет интервал (-5,0). Для точки же 3 таковым будет интервал (2,5), так?

mihaild в сообщении #1467647 писал(а):

Пусть два интервала имеют общую точку. Что тогда можно сказать про их объединение? Будет ли оно само интервалом?

Да, объединение будет интервалом, потому что между интервалами нет "разрыва",т.к они имеют общую точку.

[mihaild]

Да, всё так.

Пусть теперь оказалось, что $I(x_1)$ и $I(x_2)$ - максимальные окрестности точек $x_1$ и $x_2$ - пересекаются. Что можно сказать про $I(x_1) \cup I(x_2)$?

[pandemodeus]

mihaild в сообщении #1467660 писал(а):

Да, всё так.

Пусть теперь оказалось, что $I(x_1)$ и $I(x_2)$ - максимальные окрестности точек $x_1$ и $x_2$ - пересекаются. Что можно сказать про $I(x_1) \cup I(x_2)$?

Ну да, тогда получается, что они совпадут с интервалом $I(x)$ некоторой фиксированной точки x множества. Значит, они будут равны друг другу.
В очередной раз, большое спасибо!)