Здравствуйте, начал изучать меру Лебега, уже на начальном этапе столкнулся с несколькими недопониманиями. Помогите, пожалуйста, уяснить следующие моменты.
1) Вводится определение внутренней точки множества: Точка

называется внутренней точкой множества

, если найдется некоторая окрестность точки

, целиком принадлежащая множеству

И предельной точки: Точка

называется предельной точкой множества

, если в любой окрестности

точки

найдется хотя бы 1 точка

множества

, отличная от

Интуитивный смысл этих определений мне понятен. Непонятно вот что: Предельная точка не может быть внутренней, так как какую бы маленькую окрестность этой точки мы ни взяли, она не будет целиком лежать в множестве. А почему внутренняя точка не может быть предельной? Рассмотрим, например, круг радиуса

, возьмем внутреннюю точку, пусть это будет центр круга. Тогда получается, что какую бы окрестность мы ни взяли, там будет хотя бы 1 точка, не равная центру окружности и лежащая в круге. В чем ошибка?
2) Есть теорема, которая гласит, что любое открытое множество точек бесконечной прямой представляет собой сумму конечного или счетного числа попарно непересекающихся интервалов.
Доказательство произодится так: Пусть

- любое открытое множество, а

-произвольная фиксированная точка

. Рассмотрим сумму всех содержащихся в

окрестностей

данной точки

. Обозначим эту сумму за

. Далее доказывается то

-интервал, это понятно. По сути можно сказать, что

-это наибольший интервал, содержащий точку

и содержащийся в

. Дальше идет утверждение, которое мне не понятно: Если интервалы

и

построены для 2х различных фиксированных точек

и

множества

, то эти интервалы либо не имеют общих точек, либо совпадают между собой.
Возьмем, например множество

на числовой прямой. Пусть точка

, а

. Тогда

(максимальная окрестность точки

) равна

, а

-

. Эти интервалы пересекаются, и не совпадают между собой. Где я ошибаюсь?