Если интеграл модуля целой функции f конечен, то f = 0

[ArshakA]

Дано: $f$ целая функция. Доказать: если $\int\limits_{\mathbb{R}}\int\limits_{\mathbb{R}} |f(x + iy)|^2 dxdy < \infty$, то $f = 0$.

Пусть $f \not= 0$, тогда множество её нулей дискретно. Хочется взять какую-то $\varepsilon$-окрестность этого множества, вырезать из комплексной плоскости и оценив модуль функции на остатке снизу показать, что интеграл расходится (т.к. мера лебега остатка бесконечна). Но вообще говоря инфимум модуля по остатку может оказаться равен нулю, если не использоваться аналитичность во всей $\mathbb{C}$. А аналитичности достаточно или существуют контр-примеры (т.е. так доказать не получится)?

[vpb]

Ну что вы, там всё очень просто. Среднее значение аналитической (в соответствующем круге) функции по окружности равно ... чему ?

[ArshakA]

vpb, значению в центре окружности (интегральная формула Коши). Но не понимаю как вы предлагаете это использовать (непосредственно -- квадрат модуля аналитической функции почти никогда не аналитическая функция же)

[mihaild]

Попробуйте как-то оценить сверху интеграл от самой функции по кругу скажем единичного радиуса (и эта оценка автоматически даст оценку сверху на модуль самой функции в центре этого круга).

[ArshakA]

mihaild, не совсем понял : что оценить ? Интеграл от аналитической функции по кругу равен нулю же.

Значение в центре круга связано с интегралом функции $f(z)/z$

$$f(0) = \frac{1}{2 \pi i} \int\limits_{S^1} \frac{f(z)}{z} dz $$

Отсюда следует оценка $|f(0)| \leq \max\limits_{z \in S^1} |f(z)|$ (или просто из принципа максимума). Видимо, вы имели ввиду это, но нужна более нетривиальная оценка, да?

[Someone]

ArshakA в сообщении #1467515 писал(а):

$|f(0)| \leq \max\limits_{z \in S^1} f(z)$

В таком виде это неравенство бессмысленно. Для комплексных чисел отношение $\leq$ не определено.

[ArshakA]

Someone потерял модуль, спасибо

(Оффтоп)

даже не само неравенство бессмысленно, а уже правая часть не определена по той же причине

[Утундрий]

Гм...

Целая функция может иметь особенность только на бесконечности. Тогда из существования интеграла следует её ограниченность, а из ограниченности - постоянство. Ещё раз учтём, что интеграл существует и получим равенство нулю.

[ArshakA]

Утундрий почему из существования особенности только на бесконечности и существования интеграла следует ограниченность?

[ArshakA]

vpb, mihaild а, вы предлагали сразу использовать формулу

$$f(z) = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{0}^{2\pi} f(z + re^{i\varphi})d\varphi $$

которая сменой переменной интегрирования мгновенно выводится из формулы коши

[Утундрий]

Я всё пытаюсь представить себе интегрируемую особенность на бесконечности, но у меня ничего не получается.

[vpb]

ArshakA в сообщении #1467499 писал(а):

непосредственно -- квадрат модуля аналитической функции почти никогда не аналитическая функция же)

Ну и что ? Я и не утверждаю, что аналитическая. Вообще, давайте отвлечемся от аналитических функций и от окружностей. Вот такая задача. Допустим, у нас есть на отрезке $[0,1]$ вещественная функция, непрерывная. И мы знаем, что среднее значение ее на этом отрезке равно $1$. Можно тогда как-нибудь оценить снизу интеграл $\int_0^1 f^2(x)\,dx$ ? (есть всякие интегральные неравенства ... это такая подсказка).

[ArshakA]

Утундрий в сообщении #1467550 писал(а):

Я всё пытаюсь представить себе интегрируемую особенность на бесконечности, но у меня ничего не получается.

Разве не существуют бесконечногладкие функции вида: быстро сужающиеся (по $n$) шапочки высоты $n$ над натуральными числами $n \in \mathbb{N} \subset \mathbb{C}$ и быстро убывающие к нулю по остальной плоскости $(e^{-|x|^2/2})$. Неограничены, интегрируемы, в бесконечности существенная особенность. Тут, вроде, надо как-то существенно использовать аналитичность помимо теоремы Лиувилля все-таки.

vpb да, из неравенства Йенсена получаем, что $\int_0^1 f^2(x)\, dx \geq (\int_0^1 f(x)\, dx)^2 = \text{(по условию)} = 1$

[vpb]

ArshakA в сообщении #1483535 писал(а):

да, из неравенства Йенсена получаем, что

Да. Отсюда можно вывести (как ?), что если задана какая-то функция, причем не обязательно действительная, а, вообще говоря, комплекснозначная, но все же непрерывная; и задана она не на отрезке, а на какой-то окружности; и если среднее значение её на этой окружности равно $1$, то среднее значение квадрата её модуля на этой окружности тоже не меньше $1$. А уж отсюда можно и утверждение задачи вывести.

(Кстати, Иенсен не нужен, достаточно простого Коши-Буняковского).