2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Если интеграл модуля целой функции f конечен, то f = 0
Сообщение07.06.2020, 19:32 


13/04/16
102
Дано: $f$ целая функция. Доказать: если $\int\limits_{\mathbb{R}}\int\limits_{\mathbb{R}} |f(x + iy)|^2 dxdy < \infty$, то $f = 0$.

Пусть $f  \not= 0$, тогда множество её нулей дискретно. Хочется взять какую-то $\varepsilon$-окрестность этого множества, вырезать из комплексной плоскости и оценив модуль функции на остатке снизу показать, что интеграл расходится (т.к. мера лебега остатка бесконечна). Но вообще говоря инфимум модуля по остатку может оказаться равен нулю, если не использоваться аналитичность во всей $\mathbb{C}$. А аналитичности достаточно или существуют контр-примеры (т.е. так доказать не получится)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Если интеграл модуля целой функции f конечен, то f = 0
Сообщение07.06.2020, 20:48 
Заслуженный участник


18/01/15
3073
Ну что вы, там всё очень просто. Среднее значение аналитической (в соответствующем круге) функции по окружности равно ... чему ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Если интеграл модуля целой функции f конечен, то f = 0
Сообщение07.06.2020, 23:39 


13/04/16
102
vpb, значению в центре окружности (интегральная формула Коши). Но не понимаю как вы предлагаете это использовать (непосредственно -- квадрат модуля аналитической функции почти никогда не аналитическая функция же)

 Профиль  
                  
 
 Re: Если интеграл модуля целой функции f конечен, то f = 0
Сообщение07.06.2020, 23:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8346
Цюрих
Попробуйте как-то оценить сверху интеграл от самой функции по кругу скажем единичного радиуса (и эта оценка автоматически даст оценку сверху на модуль самой функции в центре этого круга).

 Профиль  
                  
 
 Re: Если интеграл модуля целой функции f конечен, то f = 0
Сообщение08.06.2020, 00:49 


13/04/16
102
mihaild, не совсем понял : что оценить ? Интеграл от аналитической функции по кругу равен нулю же.

Значение в центре круга связано с интегралом функции $f(z)/z$ $$f(0) = \frac{1}{2 \pi i} \int\limits_{S^1} \frac{f(z)}{z} dz $$ Отсюда следует оценка $|f(0)| \leq \max\limits_{z \in S^1} |f(z)|$ (или просто из принципа максимума). Видимо, вы имели ввиду это, но нужна более нетривиальная оценка, да?

 Профиль  
                  
 
 Re: Если интеграл модуля целой функции f конечен, то f = 0
Сообщение08.06.2020, 01:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
ArshakA в сообщении #1467515 писал(а):
$|f(0)| \leq \max\limits_{z \in S^1} f(z)$
В таком виде это неравенство бессмысленно. Для комплексных чисел отношение $\leq$ не определено.

 Профиль  
                  
 
 Re: Если интеграл модуля целой функции f конечен, то f = 0
Сообщение08.06.2020, 01:19 


13/04/16
102
Someone потерял модуль, спасибо

(Оффтоп)

даже не само неравенство бессмысленно, а уже правая часть не определена по той же причине

 Профиль  
                  
 
 Re: Если интеграл модуля целой функции f конечен, то f = 0
Сообщение08.06.2020, 02:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11534
Гм...

Целая функция может иметь особенность только на бесконечности. Тогда из существования интеграла следует её ограниченность, а из ограниченности - постоянство. Ещё раз учтём, что интеграл существует и получим равенство нулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Если интеграл модуля целой функции f конечен, то f = 0
Сообщение08.06.2020, 02:30 


13/04/16
102
Утундрий почему из существования особенности только на бесконечности и существования интеграла следует ограниченность?

 Профиль  
                  
 
 Re: Если интеграл модуля целой функции f конечен, то f = 0
Сообщение08.06.2020, 04:43 


13/04/16
102
vpb, mihaild а, вы предлагали сразу использовать формулу $$f(z) = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{0}^{2\pi} f(z + re^{i\varphi})d\varphi $$ которая сменой переменной интегрирования мгновенно выводится из формулы коши

 Профиль  
                  
 
 Re: Если интеграл модуля целой функции f конечен, то f = 0
Сообщение08.06.2020, 04:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11534
Я всё пытаюсь представить себе интегрируемую особенность на бесконечности, но у меня ничего не получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Если интеграл модуля целой функции f конечен, то f = 0
Сообщение09.06.2020, 21:57 
Заслуженный участник


18/01/15
3073
ArshakA в сообщении #1467499 писал(а):
непосредственно -- квадрат модуля аналитической функции почти никогда не аналитическая функция же)

Ну и что ? Я и не утверждаю, что аналитическая. Вообще, давайте отвлечемся от аналитических функций и от окружностей. Вот такая задача. Допустим, у нас есть на отрезке $[0,1]$ вещественная функция, непрерывная. И мы знаем, что среднее значение ее на этом отрезке равно $1$. Можно тогда как-нибудь оценить снизу интеграл $\int_0^1 f^2(x)\,dx$ ? (есть всякие интегральные неравенства ... это такая подсказка).

 Профиль  
                  
 
 Re: Если интеграл модуля целой функции f конечен, то f = 0
Сообщение17.09.2020, 14:23 


13/04/16
102
Утундрий в сообщении #1467550 писал(а):
Я всё пытаюсь представить себе интегрируемую особенность на бесконечности, но у меня ничего не получается.
Разве не существуют бесконечногладкие функции вида: быстро сужающиеся (по $n$) шапочки высоты $n$ над натуральными числами $n \in \mathbb{N} \subset \mathbb{C}$ и быстро убывающие к нулю по остальной плоскости $(e^{-|x|^2/2})$. Неограничены, интегрируемы, в бесконечности существенная особенность. Тут, вроде, надо как-то существенно использовать аналитичность помимо теоремы Лиувилля все-таки.

vpb да, из неравенства Йенсена получаем, что $\int_0^1 f^2(x)\, dx \geq (\int_0^1 f(x)\, dx)^2 =  \text{(по условию)} =  1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Если интеграл модуля целой функции f конечен, то f = 0
Сообщение20.09.2020, 05:45 
Заслуженный участник


18/01/15
3073
ArshakA в сообщении #1483535 писал(а):
да, из неравенства Йенсена получаем, что
Да. Отсюда можно вывести (как ?), что если задана какая-то функция, причем не обязательно действительная, а, вообще говоря, комплекснозначная, но все же непрерывная; и задана она не на отрезке, а на какой-то окружности; и если среднее значение её на этой окружности равно $1$, то среднее значение квадрата её модуля на этой окружности тоже не меньше $1$. А уж отсюда можно и утверждение задачи вывести.

(Кстати, Иенсен не нужен, достаточно простого Коши-Буняковского).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Vladimir Pliassov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group