Множество на прямой II

[Someone]

Профессор Снэйп писал(а):

То есть Вы хотите сказать, что для любых $x,y \in D$ существует гомеоморфизм $f$ пространства $D$ на себя, такой что $f(x)=y$?

Именно так.

Профессор Снэйп писал(а):

Someone, скажите, пожалуйста, что такое этот самый "вес". Или дайте хорошую ссылку :)

Профессор Снэйп писал(а):

Из Ваших слов я догадываюсь, что "вес", о котором упоминал Someone --- это минимальная мощность базы топологии.

Она самая.

neo66 писал(а):

То есть, если мы не ошиблись, то мы имеем, континуальное, компактное, вполне несвязное, хаусдорфово пространство без изолированных точек. И при этом не гомеоморфное канторову множеству. Интересно было бы иметь более наглядное его описание.

Профессор Снэйп писал(а):

В таком разе стоуновское пространство алгебры, порождённой отрезком конечно же имеет несчётный (даже континуальный) вес. Характеризуется ли пространство этими данными с точностью до гомеоморфизма? Не знаю, надо подумать.

Не характеризуется.

Наглядное описание - "две стрелки". Я сегодня пошарил на книжной полке и наткнулся на этот пример в следующей книге (глава I, § 8, пример Д):

Р.Сикорский. Булевы алгебры. "Мир", Москва, 1969.

Профессор Снэйп писал(а):

Берём алгебру $\mathcal P(\mathbb N)$ всех подмножеств счётного множества. Какое у неё стоуновское пространство? Вроде бы это что-то известное (когда-то давно просматривал какую-то книжку по дескриптивной теории множеств, там эта штука где-то фигурировала).

Расширение Стоуна - Чеха натурального ряда. Стандартно обозначается $\beta\mathbb N$.

Да, кстати, простые идеалы - это то же самое, что максимальные идеалы? А то я к этому термину не привык.

P.S. Групповых структур на канторовом совершенном множестве - тьма. Можно взять тихоновское произведение счётного множества любых (неединичных) конечных групп. Но после того, что здесь без меня написали, это уже тривиальное замечание.

[Профессор Снэйп]

lofar писал(а):

Профессор Снэйп писал(а):

Хотелось бы понять ещё вот что. Каковы автоморфизмы группы $\mathbb{Z}_2^\omega$? И будут ли они все гомеоморфизмами?

Группа $\mathbb{Z}_2^\omega$ является векторным пространством над $\mathbb Z_2$. Автоморфизмы $\mathbb{Z}_2^\omega$ как группы --- это в точности автоморфизмы $\mathbb{Z}_2^\omega$ как пространства.

Непрерывными будут далеко не все автоморфизмы...

Ну да. Кстати, Вы приводите разрывный автоморфизм... не то, чтобы в явном виде, поскольку на всех элементах $\mathbb{Z}_2^\omega$ Вы его всё равно не задаёте. Но, скажем так, "полуявно". А можно ещё было так. Существует $2^c$ автоморфизмов. И, поскольку пространство имеет счётное всюду плотное множество, то всего $c$ непрерывных отображений в себя. Значит, среди автоморфизмов есть разрывные.

Someone писал(а):

Да, кстати, простые идеалы - это то же самое, что максимальные идеалы? А то я к этому термину не привык.

Да, то же самое. Хотя определяются по разному.

Идеал $I$ называется простым, если он собственный и для любых $a,b \not\in I$ выполнено $a \cap b \not\in I$.

Идеал $I$ называется максимальным, если он собственный и для любого идеала $J \supseteq I$ либо $J = I$, либо $J$ совпадает со всей алгеброй.

После этих определений легко показать, что идеал является простым тогда и только тогда, когда он максимален. См., например, тут, стр. 11 -- 12.

Добавлено спустя 3 минуты 12 секунд:

Someone писал(а):

neo66 писал(а):

То есть, если мы не ошиблись, то мы имеем, континуальное, компактное, вполне несвязное, хаусдорфово пространство без изолированных точек. И при этом не гомеоморфное канторову множеству. Интересно было бы иметь более наглядное его описание.

Профессор Снэйп писал(а):

В таком разе стоуновское пространство алгебры, порождённой отрезком конечно же имеет несчётный (даже континуальный) вес. Характеризуется ли пространство этими данными с точностью до гомеоморфизма? Не знаю, надо подумать.

Не характеризуется.

Тогда надо подумать, как всё же ответить на вопрос neo666 о характеризации стоуновского пространства булевой алгебры, имеющей линейный базис, изоморфный отрезку $[0,1]$.

Добавлено спустя 5 дней:

Упс!.. А ведь "две стрелки" и есть ответ. См. сюда.

[id]

Что касается первой задачи.

Почему бы не применить следствие теоремы Линделефа о том, что множество точек конденсации любого множества M, лежащего в пространстве со счетной базой, будет совершенным множеством, пустым только в случае счетного M, и несчетным в противном случае?

Так как M замкнуто, оно содержит все свои точки конденсации.

При этом его мощность, если несчетна, очевидно, континуальна.

[neo66]

id писал(а):

При этом его мощность, если несчетна, очевидно, континуальна.

А "континуум-гипотеза" очевидна?

[id]

neo66
Хм. Что-то я этот момент попутал.

Добавлено спустя 38 минут 40 секунд:

Но, если подумать ( догадки уже дальше ), то есть теорема, что

Цитата:

Всякое непустое совершенное ограниченное множество евклидова пространства любого числа измерений имеет континуальную мощность.

Если множество точек конденсации множества $\mathfrak{M}$ ограниченно, то все доказано.
Если нет, то рассмотрим некоторое его несчетное ограниченное замкнутое подмножество $\mathfrak{N}$ ( оно существует ). Оно будет содержать все свои точки конденсации ( т.к. замкнуто ) и при этом множество его точек конденсации ( опять же, по теореме Линделефа ) будет совершенным, непустым и ограниченным ( в силу ограниченности $\mathfrak{N}$ ). Тогда можно применить указанную теорему, получив, что некоторое подмножество $\mathfrak{M}$ имеет континуальную мощность, действительная же прямая - тоже, следовательно $\mathfrak{M}$ континуально.

[маткиб]

У этой задачи (самой первой: любое замкнутое множество либо конечно, либо счетно, либо континуально) есть такое красивое решение.

Рассмотрим множество A - подмножество отрезка [0;1]. Каждому числу этого множества сопоставим двоичную запись вида 0,..... (если она не единственна, то выберем одну из них), т.е. последовательность из нулей и единиц. Теперь рассмотрим бесконечное двоичное дерево, каждой последовательности из нулей и единиц в нём соответствует некоторый бесконечный путь из вершины. Пометим все вершины дерева, лежащие на путях, соответствующих числам из A. Теперь рассмотрим все бесконечные пути из вершины, проходящие только через помеченные точки и числа, которые соответствуют этим путям. Нетрудно заметить, что это полученное множество чисел может отличаться от [A] только в точках вида $m/2^n$, где $m$ и $n$ - целые числа. Таким образом, если [A] несчётно, то его мощность совпадает с мощностью множества всех бесконечных путей в дереве, проходящих только через помеченные точки. Осталось доказать, что мощность множества всех бесконечных путей из вершины в любом счетном дереве либо конечно, либо счетно, либо континуально.

Для доказательства пометим все вершины дерева, которым соответствует поддерево, содержащее несчетное число путей из вершины. Очевидно, что у каждой помеченной вершины есть хотя бы один помеченный сын. Кроме того, если последовательно переходить от помеченной вершины к помеченной вершине-сыну, то рано или поздно возникнет ветвление (у вершины несколько помеченных детей), в противном случае было бы только счетное число бесконечных путей из данной вершины. На основе этих ветвлений нетрудно понять, как каждой последовательности из нулей и единиц поставить в соответствие путь из вершины по помеченным вершинам (на каждом ветвлении идем влево, если 0, вправо, если 1). Таким образом, если путей несчетно, то континуум.

[parean]

Someone в сообщении #100574 писал(а):

Это вряд ли. Концы интервалов $(\alpha_i,\beta_i)$ будут отображаться в одну точку. Но этого достаточно. Главное - что $B$ будет отображаться на некоторый отрезок за исключением, возможно, концов.

Вы не могли бы, пожалуйста, более подробно раскрыть эту мысль? Я пытаюсь вникнуть в доказательство и не понимаю, что именно не так.