Множество на прямой II

[neo66]

Профессор Снэйп писал(а):

Короче, доказательство того, что $B$ не содержит изолированных точек, некорректно.

Согласен, постараюсь быть аккуратней.

lofar писал(а):

neo66 писал(а):

Тогда $B$ - замкнуто и не имеет изолированных точек.

Замкнутость очевидна. Не могли бы вы пояснить почему $B$ не содержит изолированных точек?

1. Для любого несчетного подмножества $A \subseteq \mathbb{R}$ существует точка $x \in \mathbb{R}$, любая окрестность которой содержит несчетное количество точек этого множества.

2. Для любого замкнутого несчетного множества $A \subseteq \mathbb{R}$ существует точка $x \in A$, любая окрестность которой содержит несчетное количество точек этого множества.

3. Пусть $b$ - изолированная точка множества $B$. Это значит, что в некоторой окрестности $(b-\epsilon,b+\epsilon)$ нет других точек из $B$. Тогда в отрезках $[b - \epsilon,b - \frac \epsilon 2]$ и $[b+\frac \epsilon 2,b+\epsilon]$ находится не более, чем счетное количество точек множества $A$ (Если бы это было не так, то это противоречило бы пункту 2.). Ну, и так далее. Получим, что окрестность $(b-\epsilon,b+\epsilon)$ разбивается на счетное число подмножеств, в каждом из которых находится не более, чем счетное количество точек множества $A$. А значит в окрестности $(b-\epsilon,b+\epsilon)$ находится не более, чем счетное количество точек множества $A$. Противоречие.

[Профессор Снэйп]

Теперь вроде бы всё правильно.

Относительно второй задачи. Для тех, кто знаком с булевыми алгебрами, она выглядит вообще тривиально. Дело в том, что каждое счётное линейно упорядоченное множество является линейным базисом некоторой счётной булевой алгебры. Существует взаимно-однозначное соответствие между начальными сегментами линейного базиса и простыми идеалами (либо ультрафильтрами) алгебры. Если алгебра суператомна, то у неё счётное число простых идеалов (более того, в качестве линейного базиса может быть выбран некоторый счётный ординал). Если же алгебра не суператомна, то простых идеалов у неё континуум.

См. например, тут, это конспект спецкурса, который я несколько лет назад читал в НГУ. Ну и во многих других источниках эту теорию можно найти.

Впрочем, вторую задачу несложно решить, ничего не зная о булевых алгебрах.

[Kid Kool]

Профессор Снэйп

Во второй части все правильно, а первую я знаю, как исправить. Отвечу чуть позже.

[Kid Kool]

Пусть имеются 2 начальных сегмента A, B. Отрезком AB назовем все сегменты, содержащие A и лежащие в B.

Вспомогательное утверждение: пусть дан отрезок AB, содержащий несчетное число начальных сегментов. Тогда в нем можно выделить 2 непересекающихся подотрезка AU и VB, также содержащих несчетное число начальных сегментов.

Доказательство.

Назовем начальный сегмент главным, если он состоит из всех элементов носителя L, не превосходящих некоторого x из L.

Рассмотрим все главные начальные сегменты T из отрезка AB такие, что существует не более чем счетное число содержащихся в них начальных сегментов из AB (т.е. в отрезке AT не более чем счетное число начальных сегментов). Пусть их объединение равно M. Тогда: 1. В отрезке AM не более чем счетное число начальных сегментов (счетное объединение счетных множеств счетно) 2. Для любого начального сегмента M', содержащего M и не равного M число начальных сегментов из AM' несчетно. Т.о., AM - максимальный по включению отрезок из не более чем счетного числа начальных сегментов. Аналогично, можно рассмотреть отрезок NB - тоже максимальный по включению из не более чем счетного числа начальных сегментов.

Первый случай: AM и NB не пересекаются. Тогда MN содержит несчетное число начальных сегментов. Выберем из них 2 - $U \subset V$, отличных от M и N. U, V - искомые.

Второй случай: AM и NB пересекаются. Тогда AB = объединению отрезков AN, NM и MB, каждый из которых содержит счетное число начальных сегментов. Противоречие с тем, что отрезок AB содержит несчетное число начальных сегментов.

Лемма доказана.

Дальше этого места все понятно?

Добавлено спустя 7 минут 25 секунд:

Профессор Снэйп писал(а):

Kid Kool писал(а):

Задача доказана.

По русски так не говорят. Говорят "утверждение доказано" или "задача решена"

Если задача оформлена в виде утверждения, которое необходимо доказать, то не вижу никакой некорректности в высказывании "задача доказана".

[neo66]

Профессор Снэйп писал(а):

Впрочем, вторую задачу несложно решить, ничего не зная о булевых алгебрах.

1) А не могли бы вы привести это доказательство или дать ссылку?

Профессор Снэйп писал(а):

Доказать, что если линейный порядок (более точно, его носитель) счётен, то множество его начальных сегментов либо счётно, либо континуально.

2) А верно ли "обратное" утверждение:
"если множество начальных сегментов линейного порядка континуально, то его носитель счетен"

3) Верно ли, что из того, что множество простых идеалов безатомного Булева кольца имеет мощность континуум следует, что оно счетно?

[Профессор Снэйп]

neo66 писал(а):

Профессор Снэйп писал(а):

Впрочем, вторую задачу несложно решить, ничего не зная о булевых алгебрах.

1) А не могли бы вы привести это доказательство или дать ссылку?

Профессор Снэйп писал(а):

Доказать, что если линейный порядок (более точно, его носитель) счётен, то множество его начальных сегментов либо счётно, либо континуально.

Дам идею. Докажите, что если количество начальных сегментов счётного линейного порядка более чем счётно, то в этом порядке содержится плотный подпорядок (то есть подпорядок, изоморфный естественному порядку на рациональных числах). Ну а там уже и до континуума недалеко

neo66 писал(а):

2) А верно ли "обратное" утверждение:
"если множество начальных сегментов линейного порядка континуально, то его носитель счетен"

Конечно нет. Рассмотрите вполне упорядоченное множество континуальной мощности. Или естественный порядок на действительных числах.

На самом деле придумать континуальный линейный порядок, у которого больше континуума начальных сегментов --- гораздо более нетривиальная задача. Я вот даже не уверен в том, что он вообще существует.

neo66 писал(а):

3) Верно ли, что из того, что множество простых идеалов безатомного Булева кольца имеет мощность континуум следует, что оно счетно?

Тоже неверно. Возьмём естественный порядок на действительных числах и построим на нём, как на базисе, булеву алгебру. Ну или кольцо, если Вам кольца больше нравятся

[neo66]

Спасибо,успокоили, а то мучился ужасно.
Кстати, еще вопрос:
Если булева алгебра порождается естественным линейным порядком на $\mathbb{Q}\cap [0,1]$, то соответствующее ей Стоуновское пространство - это Канторов дисконтинуум.
А какое Стоуновское пространство получится, если взять $[0,1]$?

[Профессор Снэйп]

neo66 писал(а):

Спасибо,успокоили, а то мучился ужасно.
Кстати, еще вопрос:
Если булева алгебра порождается естественным линейным порядком на $\mathbb{Q}\cap [0,1]$, то соответствующее ей Стоуновское пространство - это Канторов дисконтинуум.

Получится компактное хаусдорфово вполне незвязное топологическое пространство без изолированных точек. Если не ошибаюсь, то это и есть канторовский дисконтинуум. Хотя не уверен. Дело в том, что я очень плохо знаю про топологические пространства. Булевыми алгебрами я занимался профессионально в магистратуре/аспирантуре НГУ (пока не переключился на нумерации) и даже несколько статей написал (в частности, параграф 2.6 этой книги --- моя дипломная работа на шестом курсе ) Но для сибирской школы характерен алгебраический подход, а не топологический. Вот я в нём и силён. И, к сожалению, почти только в нём.

В частности, оригинальную статью Кетонена с его классификацией типов изоморфизма счётных булевых алгебр я так толком и не осилил именно из-за того, что он работал со стоуновскими пространствами. Саму классификацию, конечно, знаю, и даже сам излагал её студентам на спецкурсе, но в рамках алгебраического подхода.

Хотя, конечно, то, что переход к фактору по идеалу Фреше в алгебре равносилен взятию производной Кантора-Бендиксона у стоуновского пространства, худо-бедно осознал.

neo66 писал(а):

А какое Стоуновское пространство получится, если взять $[0,1]$?

Ну я уже сказал, что в топологии не силён. Хотя можно помыслить...

Стоуновское пространство состоит из простых идеалов. Теорема о взаимно-однозначном соответствии между простыми идеалами и начальными сегментами порождающего алгебру линейного порядка верна по любому. Ну а в $[0,1]$ начальные сегменты бывают только двух видов: $\{ x < r \}$ и $\{ x \leqslant r \}$ для $r \in [0,1]$. Как-то отсюда и надо плясать... Не знаю, я вот не могу так сходу назвать несколько свойств, которые характеризовали бы нужное нам пространство с точностью до гомеоморфизма. То, что оно континуально, хаусдорфово, компактно и имеет базу, состоящую из открыто-замкнутых множеств (вполне несвязно) --- это понятно, стоуновские пространства всегда такие. Буду ложиться спать --- помыслю, какие там есть изолированные точки.

Ну Вы, блин, всю душу разбередили. Я уже лет 6 как про эти темы прочно забыл, а тут вдруг кому-то интересно!

Добавлено спустя 27 минут:

Кстати, вот по ходу размышлений вопрос возник. Адресую его присутствующим здесь знатокам топологии.

Как строится канторовский дисконтинуум? Из отрезка $[0,1]$ вырезаем треть --- открытый интервал $(1/3,2/3)$ посередине, остаётся $[0,1/3] \cup [2/3,1]$, в каждом из оставшихся отрезочков вырезаем открытый интервал --- среднюю треть и т. д. Канторовский дисконтинуум $D$ --- это то, что получается в пределе.

Для бесконечной троичной дроби $r=0.a_1a_2\ldots$ (считаем, что единица --- это ноль и два в периоде) можно сказать, что $r \in D$ тогда и только тогда, когда либо все $a_i$-ые не равны $1$, либо в последовательности $a_i$-ых встречается ровно одна единица, после которой идут только нули.

Пусть $D_1$ --- это все такие точки $r$ из $D$, для которых в последовательности $r=0.a_1a_2\ldots$ начиная с некоторого момента идут одни нули (то есть точки, принадлежащии границам интервалов, вырезаемых при построении $D$). Мой вопрос такой: отличаются ли топологические свойства точек из $D_1$ (их там счётное число) от свойств остальных точек, принадлежащих $D$ (коих там целый континуум)? Как-то у них окрестности в $D$ может по другому устроены? Или ещё что-нибудь?

[Someone]

Профессор Снэйп писал(а):

Получится компактное хаусдорфово вполне незвязное топологическое пространство без изолированных точек. Если не ошибаюсь, то это и есть канторовский дисконтинуум. Хотя не уверен.

Если ещё добавить, что вес счётный, то он самый.

Профессор Снэйп писал(а):

neo66 писал(а):

А какое Стоуновское пространство получится, если взять $[0,1]$?

Ну я уже сказал, что в топологии не силён. Хотя можно помыслить...

Стоуновское пространство состоит из простых идеалов. Теорема о взаимно-однозначном соответствии между простыми идеалами и начальными сегментами порождающего алгебру линейного порядка верна по любому. Ну а в $[0,1]$ начальные сегменты бывают только двух видов: $\{ x < r \}$ и $\{ x \leqslant r \}$ для $r \in [0,1]$. Как-то отсюда и надо плясать...

Похоже, "две стрелки". Может быть, ещё с двумя изолированными точками, если пустой начальный сегмент и начальный сегмент, совпадающий со всем отрезком, тоже считаются простыми идеалами (я, наоборот, в алгебре не силён). Описать можно так.
Пусть $X=\{0\}\times(0,1]\cup\{1\}\times[0,1)$. Базу топологии образуют множества вида $\{0\}\times(a,b]\cup\{1\}\times[a,b)$ при $0\leqslant a<b\leqslant 1$ (нарисуйте на плоскости, всё будет понятно). Это линейно упорядоченное пространство. (П.С.Александров, П.С.Урысон. Мемуар о компактных топологических пространствах. "Наука", Москва, 1971. Глава V, § 1, пункт 3.)

Профессор Снэйп писал(а):

Буду ложиться спать --- помыслю, какие там есть изолированные точки.

Помыслите. Вдруг я ошибаюсь.

Профессор Снэйп писал(а):

... (то есть точки, принадлежащии границам интервалов, вырезаемых при построении $D$). Мой вопрос такой: отличаются ли топологические свойства точек из $D_1$ (их там счётное число) от свойств остальных точек, принадлежащих $D$ (коих там целый континуум)? Как-то у них окрестности в $D$ может по другому устроены? Или ещё что-нибудь?

Если отвлечься от конкретного вложения $D$ в отрезок $[0,1]$ и рассматривать топологическое пространство $D$ само по себе, то оно топологически однородно и, более того, допускает структуру топологической группы (например, $\mathbb Z_2^{\aleph_0$).

[Профессор Снэйп]

Someone писал(а):

Похоже, "две стрелки". Может быть, ещё с двумя изолированными точками, если пустой начальный сегмент и начальный сегмент, совпадающий со всем отрезком, тоже считаются простыми идеалами (я, наоборот, в алгебре не силён). Описать можно так.
Пусть $X=\{0\}\times(0,1]\cup\{1\}\times[0,1)$. Базу топологии образуют множества вида $\{0\}\times(a,b]\cup\{1\}\times[a,b)$ при $0\leqslant a<b\leqslant 1$ (нарисуйте на плоскости, всё будет понятно). Это линейно упорядоченное пространство. (П.С.Александров, П.С.Урысон. Мемуар о компактных топологических пространствах. "Наука", Москва, 1971. Глава V, § 1, пункт 3.)

Нет, там всё не так. Сами начальные сегменты --- это не есть простые идеалы, идеалы устроены гораздо сложнее (ниже после синей надписи я дал все необходимые определения). Просто есть биекция между простыми идеалами и собственными начальными сегментами

Someone писал(а):

Профессор Снэйп писал(а):

... (то есть точки, принадлежащии границам интервалов, вырезаемых при построении $D$). Мой вопрос такой: отличаются ли топологические свойства точек из $D_1$ (их там счётное число) от свойств остальных точек, принадлежащих $D$ (коих там целый континуум)? Как-то у них окрестности в $D$ может по другому устроены? Или ещё что-нибудь?

Если отвлечься от конкретного вложения $D$ в отрезок $[0,1]$ и рассматривать топологическое пространство $D$ само по себе, то оно топологически однородно и, более того, допускает структуру топологической группы (например, $\mathbb Z_2^{\aleph_0$).

То есть Вы хотите сказать, что для любых $x,y \in D$ существует гомеоморфизм $f$ пространства $D$ на себя, такой что $f(x)=y$? Или Вашу "однородность" надо понимать в каком-то другом смысле?

А как определяется топологическая группа $\mathbb Z_2^{\aleph_0}$?

Добавлено спустя 2 часа 9 минут 15 секунд:

Так вот, значит, насчёт алгебры, порождённой отрезком $[0,1]$. Будем обозначать её через $\mathfrak{B}$.

Устроена она так. Берутся все полуинтервалы вида $[0,a)$ для $a \in [0,1]$ и в $\mathcal{P}([0,1))$ рассматривается подалгебра, порождённая этими полуинтервалами. Это и будет $\mathfrak{B}$. Легко показать, что $X \subseteq [0,1)$ принадлежит $\mathfrak{B}$ тогда и только тогда, когда найдутся $0 \leqslant a_1 < \ldots < a_{2k} \leqslant 1$, такие что $X = [a_1,a_2) \cup \ldots \cup [a_{2k-1},a_{2k})$ (при $k=0$ считаем $X = \varnothing$).

Пусть $\alpha \subset [0,1]$ --- собственный (то есть не равный $\varnothing$ и $[0,1]$) начальный сегмент. Через $p(\alpha)$ обозначим соответствующий ему простой идеал в $\mathfrak{B}$. Справедливо следующее утверждение: для $X \in \mathfrak{B}$

$$ X \not\in p(\alpha) \Leftrightarrow (\exists a \in \alpha)(\exists b \in [0,1] \setminus \alpha)([a,b) \subseteq X) $$

Элементами (точками) стоуновского пространства $S$ будут все простые идеалы $p(\alpha)$, где $\alpha$ пробегает множество всех непустых собственных начальных сегментов отрезка $[0,1]$. Для каждого $p \in S$ база фильтра окрестностей $p$ --- это

$$ \{ \{ q \in S : X \not\in q \} : X \not\in p \} $$

Все элементы базы --- открытые и компактные подмножества $S$. Более того, подмножество $S$ открыто и компактно тогда и только тогда, когда оно является элементом базы фильтра окрестностей для некоторой точки $p \in S$ (то есть имеет вид $U_X = \{ q \in S : X \not\in q \}$ для некоторого $X \in \mathfrak{B}$).

Покажем, что в $S$ нет изолированных точек. Надо показать, что любое множество вида $U_X$, где $X \in \mathfrak{B}$, не одноэлементно. Зафиксируем $X \in \mathfrak{B}$. Если $X = \varnothing$, то $U_X = \varnothing$ --- не одноэлементно. Пусть $X \neq \varnothing$. Тогда найдутся $a < b$ из отрезка $[0,1]$, такие что $[a,b) \subseteq X$. Возьмём $\alpha = [0,a]$ и $\beta = [0,b)$. Тогда $p(\alpha) \neq p(\beta)$. Однако $p(\alpha), p(\beta) \in U_X$, что доказывает нужный нам факт.

Таким образом, $S$ континуально, хаусдорфово, вполне несвязно и без изолированных точек. Однако оно не гомеоморфно канторовскому дисконтинууму, поскольку канторовский дисконтинуум --- это стоуновское пространство некоторой счётной алгебры, а алгебра однозначно (с точностью до изоморфизма) восстанавливается по своему стоуновскому пространству. Вероятно, всё дело в этом самом "весе", о котором упоминал Someone: для канторовского дисконтинуума он счётен, а для нашего $S$, вероятно, несчётен.

Someone, скажите, пожалуйста, что такое этот самый "вес". Или дайте хорошую ссылку

[neo66]

Профессор Снэйп писал(а):

Покажем, что в $S$ нет изолированных точек.

Понятно, что нет и быть не может. Изолированная точка $X\in{S}$ открыто-замкнута. Рассмотрим булево кольцо непрерывных функций на $S$, принимающих значение $0$ и $1$. Согласно теореме Стоуна оно изоморфно нашей исходной алгебре $\mathfrak{B}$. Но, функция, принимающая в точке $X$ значение 1 и во всех остальных точках $0$, непрерывна и является атомом в $\mathfrak{B}$. А алгебра $\mathfrak{B}$ безатомна. Другими словами, стоуновское пространство безатомной булевой алгебры не имеет изолированных точек.

То есть, если мы не ошиблись, то мы имеем, континуальное, компактное, вполне несвязное, хаусдорфово пространство без изолированных точек. И при этом не гомеоморфное канторову множеству. Интересно было бы иметь более наглядное его описание. Тем более, что известно, что "любое компактное, вполне несвязное, хаусдорфово пространство без изолированных точек, и со счетной базой гомеоморфно канторову множеству".

Профессор Снэйп писал(а):

А как определяется топологическая группа $\mathbb Z_2^{\aleph_0}$?.

Канторов дисконтинуум гомеоморфен $\mathbb S_2^{\aleph_0}$, то есть Тихоновскому произведению счетного числа двухточечных пространств с дискретной топологией. На нем естественно определяется и структура абелевой группы.

[Профессор Снэйп]

neo66 писал(а):

Понятно, что нет и быть не может. Изолированная точка $X\in{S}$ открыто-замкнута. Рассмотрим булево кольцо непрерывных функций на $S$, принимающих значение $0$ и $1$. Согласно теореме Стоуна оно изоморфно нашей исходной алгебре $\mathfrak{B}$. Но, функция, принимающая в точке $X$ значение 1 и во всех остальных точках $0$, непрерывна и является атомом в $\mathfrak{B}$. А алгебра $\mathfrak{B}$ безатомна. Другими словами, стоуновское пространство безатомной булевой алгебры не имеет изолированных точек.

Ну да. Долго вспоминал собственные штудии многолетней давности, но сейчас всё в голове улеглось.

В стоуновских пространствах на самом деле так. Точки --- простые идеалы, изолированные точки = главные простые идеалы, то есть главные идеалы, порождённые коатомами. Понятно, что изолированные точки есть тогда и только тогда, когда есть атомы. Так что утверждение об отсутствии изолированных точек было очевидно, а то, что я его стал доказывать --- это я затупил.

Ну а далее... Для произвольного топологического пространства определена производная Кантора-Бендиксона: $X'$ --- это пространство $X$ с выброшенными изолированными точками. В произвольной булевой алгебре есть идеал Фреше, то есть идеал, порождённый атомами. Ну и стоуновское пространство фактор-алгебры по идеалу Фреше гомеоморфно производной Кантора-Бендиксона стоуновского пространства исходной алгебры. Далее всё это дело можно итерировать по ординалам, определять тип суператомности... В общем, интересная теория там получается.

Из Ваших слов я догадываюсь, что "вес", о котором упоминал Someone --- это минимальная мощность базы топологии. В таком разе стоуновское пространство алгебры, порождённой отрезком $[0,1]$ конечно же имеет несчётный (даже континуальный) вес. Характеризуется ли пространство этими данными с точностью до гомеоморфизма? Не знаю, надо подумать.

Вот, кстати, ещё задача. Берём алгебру $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ всех подмножеств счётного множества. Какое у неё стоуновское пространство? Вроде бы это что-то известное (когда-то давно просматривал какую-то книжку по дескриптивной теории множеств, там эта штука где-то фигурировала).

Добавлено спустя 5 минут 55 секунд:

neo66 писал(а):

Профессор Снэйп писал(а):

А как определяется топологическая группа $\mathbb Z_2^{\aleph_0}$?.

Канторов дисконтинуум гомеоморфен $\mathbb S_2^{\aleph_0}$, то есть Тихоновскому произведению счетного числа двухточечных пространств с дискретной топологией. На нем естественно определяется и структура абелевой группы.

Напомните, пожалуйста, что такое тихоновское произведение. Топология тихоновского произведения --- это слабейшая топология, в которой все проекции непрерывны? Или что-то другое?

[neo66]

Профессор Снэйп писал(а):

Напомните, пожалуйста, что такое тихоновское произведение. Топология тихоновского произведения --- это слабейшая топология, в которой все проекции непрерывны?

Именно это.

[Профессор Снэйп]

neo66 писал(а):

Профессор Снэйп писал(а):

Напомните, пожалуйста, что такое тихоновское произведение. Топология тихоновского произведения --- это слабейшая топология, в которой все проекции непрерывны?

Именно это.

Ну тогда понятно. Надеюсь, никто не завозражает, если я вместо $\aleph_0$ буду писать $\omega$. Так привычнее...

Имеем $\mathbb{Z}_2 = \{ 0, 1 \}$, $\mathbb{Z}_2^\omega$ --- множество всех функций из $\omega$ в $\mathbb{Z}_2$. С поточечным сложением и естественным нулём это абелева группа.

Пусть $\Delta$ --- множество всех функций, принимающих значения в $\mathbb{Z}_2$, областями определения которых являются конечные подмножества $\omega$. Для $\delta \in \Delta$ пусть

$$ U_\delta = \{ f \in \mathbb{Z}_2^\omega : \delta \subseteq f \} $$

Тогда $\{ U_\delta : \delta \in \Delta \}$ --- база интересующей нас топологии.

И что, получается, в этой топологии сложение на $\mathbb{Z}_2^\omega$ непрерывно по обоим аргументам? Вроде да. Действительно, пусть $h = f + g$ и $h \in U_\delta$. Пусть $\delta_1$ и $\delta_2$ --- ограничения $f$ и $g$ на область определения $\delta$ соответственно. Тогда $f \in U_{\delta_1}$, $g \in U_{\delta_2}$ и $U_{\delta_1} + U_{\delta_2} = U_\delta$.

Спасибо за инфу.

Хотелось бы понять ещё вот что. Каковы автоморфизмы группы $\mathbb{Z}_2^\omega$? И будут ли они все гомеоморфизмами?

[lofar]

Профессор Снэйп писал(а):

Хотелось бы понять ещё вот что. Каковы автоморфизмы группы $\mathbb{Z}_2^\omega$? И будут ли они все гомеоморфизмами?

Группа $\mathbb{Z}_2^\omega$ является векторным пространством над $\mathbb Z_2$. Автоморфизмы $\mathbb{Z}_2^\omega$ как группы --- это в точности автоморфизмы $\mathbb{Z}_2^\omega$ как пространства.

Непрерывными будут далеко не все автоморфизмы. Пусть $e_i$ --- $i$-й единичный вектор из $\mathbb{Z}_2^\omega$ ($e_i(j)=\delta_{ij}$, для $i,j\in\omega$). Существует автоморфизм $\varphi$ такой, что $\varphi(e_i)=e_0+\ldots+e_i$. Этот автоморфизм разрывен. Возьмем окрестность нуля $U=\{f\in\mathbb{Z}_2^\omega\colon f(0)=0\}$. В любой окрестности нуля $V$ найдется элемент $e_i$, а $\varphi(e_i)\notin U$.