Замыкание AC в VB

[AD]

Подскажите, пожалуйста, не знает ли кто-нибудь, как устроено замыкание пространства абсолютно непрерывных функций $\mathrm{AC}[0,1]$ в пространстве функций ограниченной вариации $\mathrm{VB}[0,1]$ (оба пространства - "с точностью до константы") с нормой $\|f\|=\mathop{\mathrm{Var\,}}\limits_{[0,1]}f$

То есть замкнутое ли это подпространство, или, может быть, можно до $\mathrm{VB}\cap C$ дотянуть?

Ну ясно, что дальше $\mathrm{VB}\cap C$ не уедем, ибо метрика тоньше равномерной. Но можно ли приблизить, скажем, Канторову лестницу - пока не понимаю.

[Иннокентий]

Пространство $AC[0,1]$ с полунормой из пространства $VB[0,1]$ это в точности пространство Cоболева $L_1^1[0,1]$ с полунормой $\|f\|=\int_0^1|f'|dx$.
Так как $L_1^1[a,b]$ полное пространство, оно является замкнутым множеством в пространстве $V[a,b]$.

Добавлено спустя 2 минуты 53 секунды:

Исправляю опечатку.
Пространство $AC[0,1]$ с полунормой из пространства $VB[0,1]$ это в точности пространство Cоболева $L_1^1[0,1]$ с полунормой $\|f\|=\int_0^1|f'|dx$.
Так как $L_1^1[a,b]$ полное пространство, оно является замкнутым множеством в пространстве $VB[0,1]$ .

[ewert]

только хорошо бы уточнить. Во-первых, лучше бы плюнуть на все эти факторизации и с самого начала рассматривать пространства с граничным условием $u|_0=0$. Во-вторых, изначально соболевское пространство $W_1^1$ снабжено всё же несколько иной нормой, так что нужна оценка типа $\Vert u\Vert_{L_1}\leqslant C\Vert u'\Vert_{L_1}$. Что при фиксации данного граничного условия имеет место быть.

[zoo]

ewert писал(а):

только хорошо бы уточнить. Во-первых, лучше бы плюнуть на все эти факторизации и с самого начала рассматривать пространства с граничным условием $u|_0=0$. Во-вторых, изначально соболевское пространство $W_1^1$ снабжено всё же несколько иной нормой, так что нужна оценка типа $\Vert u\Vert_{L_1}\leqslant C\Vert u'\Vert_{L_1}$. Что при фиксации данного граничного условия имеет место быть.

а ссылочку на текст в котором такое неравенство именно для $L^1$ написано можно?

[ewert]

zoo писал(а):

а ссылочку на текст в котором такое неравенство именно для $L^1$ написано можно?

Ну откуда мне тут ссылки взять? Однако же: при нулевом граничном условии в нуле (вообще в любой точке отрезка)

$$ \Vert u\Vert_{L_1[0;1]}\leqslant\Vert u\Vert_{C[0;1]}\leqslant\Vert u'\Vert_{L_1[0;1]} $$

----------------------------------------------------------------------------------
А-а, вот, нашёл ссылку: http://dxdy.ru/post146789.html#146789

[AD]

Так, то есть, хотите сказать, я совсем туплю?

Ну то есть пространство $\mathrm{AC}$ (с закрепленной точкой) с нормой из $\mathrm{VB}$ - это в точности $L_1$, то есть изометрически изоморфно. И раз оно полно, то оно замкнуто, всё.

Всем спасибо!

[ewert]

AD писал(а):

- это в точности $L_1$,

полезно добавить пару байт

[AD]

А? Что? Где? Кого позвать?

[ewert]

да единичку с галочкой -- они вмиг прибегут