2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Замыкание AC в VB
Сообщение26.09.2008, 13:06 
Подскажите, пожалуйста, не знает ли кто-нибудь, как устроено замыкание пространства абсолютно непрерывных функций $\mathrm{AC}[0,1]$ в пространстве функций ограниченной вариации $\mathrm{VB}[0,1]$ (оба пространства - "с точностью до константы") с нормой $\|f\|=\mathop{\mathrm{Var\,}}\limits_{[0,1]}f$ :?:

То есть замкнутое ли это подпространство, или, может быть, можно до $\mathrm{VB}\cap C$ дотянуть?

Ну ясно, что дальше $\mathrm{VB}\cap C$ не уедем, ибо метрика тоньше равномерной. Но можно ли приблизить, скажем, Канторову лестницу - пока не понимаю.

 
 
 
 
Сообщение26.09.2008, 18:59 
Пространство $AC[0,1]$ с полунормой из пространства $VB[0,1]$ это в точности пространство Cоболева $L_1^1[0,1]$ с полунормой $\|f\|=\int_0^1|f'|dx$.
Так как $L_1^1[a,b]$ полное пространство, оно является замкнутым множеством в пространстве $V[a,b]$.

Добавлено спустя 2 минуты 53 секунды:

Исправляю опечатку.
Пространство $AC[0,1]$ с полунормой из пространства $VB[0,1]$ это в точности пространство Cоболева $L_1^1[0,1]$ с полунормой $\|f\|=\int_0^1|f'|dx$.
Так как $L_1^1[a,b]$ полное пространство, оно является замкнутым множеством в пространстве $VB[0,1]$ .

 
 
 
 
Сообщение26.09.2008, 19:38 
только хорошо бы уточнить. Во-первых, лучше бы плюнуть на все эти факторизации и с самого начала рассматривать пространства с граничным условием $u|_0=0$. Во-вторых, изначально соболевское пространство $W_1^1$ снабжено всё же несколько иной нормой, так что нужна оценка типа $\Vert u\Vert_{L_1}\leqslant C\Vert u'\Vert_{L_1}$. Что при фиксации данного граничного условия имеет место быть.

 
 
 
 
Сообщение26.09.2008, 20:50 
Аватара пользователя
ewert писал(а):
только хорошо бы уточнить. Во-первых, лучше бы плюнуть на все эти факторизации и с самого начала рассматривать пространства с граничным условием $u|_0=0$. Во-вторых, изначально соболевское пространство $W_1^1$ снабжено всё же несколько иной нормой, так что нужна оценка типа $\Vert u\Vert_{L_1}\leqslant C\Vert u'\Vert_{L_1}$. Что при фиксации данного граничного условия имеет место быть.

а ссылочку на текст в котором такое неравенство именно для $L^1$ написано можно?

 
 
 
 
Сообщение27.09.2008, 02:42 
zoo писал(а):
а ссылочку на текст в котором такое неравенство именно для $L^1$ написано можно?

Ну откуда мне тут ссылки взять? Однако же: при нулевом граничном условии в нуле (вообще в любой точке отрезка)

$$ \Vert u\Vert_{L_1[0;1]}\leqslant\Vert u\Vert_{C[0;1]}\leqslant\Vert u'\Vert_{L_1[0;1]} $$

----------------------------------------------------------------------------------
А-а, вот, нашёл ссылку: http://dxdy.ru/post146789.html#146789

 
 
 
 
Сообщение27.09.2008, 16:06 
Так, то есть, хотите сказать, я совсем туплю? :roll:

Ну то есть пространство $\mathrm{AC}$ (с закрепленной точкой) с нормой из $\mathrm{VB}$ - это в точности $L_1$, то есть изометрически изоморфно. И раз оно полно, то оно замкнуто, всё.

Всем спасибо!

 
 
 
 
Сообщение27.09.2008, 16:35 
AD писал(а):
- это в точности $L_1$,

полезно добавить пару байт

 
 
 
 
Сообщение27.09.2008, 18:01 
А? Что? Где? Кого позвать?

 
 
 
 
Сообщение28.09.2008, 05:10 
да единичку с галочкой -- они вмиг прибегут

 
 
 [ Сообщений: 9 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group