2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Ортогональный оператор - доказательство свойства
Сообщение05.06.2020, 16:46 


16/05/20
16
Здравствуйте!
Помогите, пожалуйста, доказать следующее утверждение: если оператор не изменяет нормы элементов линейного пространства, то этот оператор является ортогональным.
То, что в обратную сторону верно (если оператор ортогональный, то он не изменяет нормы элементов) - доказывается тривиально.
Есть следующая идея: необходимо доказать, что $(Q(x),Q(x))=(x,x)$. Попробовать представить $x$ как сумму каких-либо произвольных элементов линейного пространства, т.е. $x=y+z$. Или, может быть, $x=x-z+z$. Но вряд ли это приведет к тому, что нужно, и с обоснованием проблемы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ортогональный оператор - доказательство свойства
Сообщение05.06.2020, 16:49 
Заслуженный участник


20/12/10
9179
kirkirkir в сообщении #1467165 писал(а):
Есть следующая идея: необходимо доказать, что $(Q(x),Q(x))=(x,x)$.
А это разве не дано? Сформулируйте определение ортогонального оператора.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ортогональный оператор - доказательство свойства
Сообщение05.06.2020, 17:12 


16/05/20
16
nnosipov в сообщении #1467166 писал(а):
kirkirkir в сообщении #1467165 писал(а):
Есть следующая идея: необходимо доказать, что $(Q(x),Q(x))=(x,x)$.
А это разве не дано? Сформулируйте определение ортогонального оператора.

Описался, извиняюсь. Необходимо доказать, конечно, что $(Q(x),Q(y))=(x,y)$, тогда оператор является ортогональным по определению. При этом дано, что $(Q(x),Q(x))=(x,x) $$x$, т.к. оператор не изменяет нормы элементов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ортогональный оператор - доказательство свойства
Сообщение05.06.2020, 17:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9549
Цюрих
Попробуйте расписать скалярное произведение $(x + y, x + y) = \|x + y\|^2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ортогональный оператор - доказательство свойства
Сообщение05.06.2020, 18:54 


16/05/20
16
mihaild в сообщении #1467177 писал(а):
Попробуйте расписать скалярное произведение $(x + y, x + y) = \|x + y\|^2$.

Спасибо, получилось!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Alex Krylov, B@R5uk, Утундрий


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group