2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Ортогональный оператор - доказательство свойства
Сообщение05.06.2020, 16:46 
Здравствуйте!
Помогите, пожалуйста, доказать следующее утверждение: если оператор не изменяет нормы элементов линейного пространства, то этот оператор является ортогональным.
То, что в обратную сторону верно (если оператор ортогональный, то он не изменяет нормы элементов) - доказывается тривиально.
Есть следующая идея: необходимо доказать, что $(Q(x),Q(x))=(x,x)$. Попробовать представить $x$ как сумму каких-либо произвольных элементов линейного пространства, т.е. $x=y+z$. Или, может быть, $x=x-z+z$. Но вряд ли это приведет к тому, что нужно, и с обоснованием проблемы.

 
 
 
 Re: Ортогональный оператор - доказательство свойства
Сообщение05.06.2020, 16:49 
kirkirkir в сообщении #1467165 писал(а):
Есть следующая идея: необходимо доказать, что $(Q(x),Q(x))=(x,x)$.
А это разве не дано? Сформулируйте определение ортогонального оператора.

 
 
 
 Re: Ортогональный оператор - доказательство свойства
Сообщение05.06.2020, 17:12 
nnosipov в сообщении #1467166 писал(а):
kirkirkir в сообщении #1467165 писал(а):
Есть следующая идея: необходимо доказать, что $(Q(x),Q(x))=(x,x)$.
А это разве не дано? Сформулируйте определение ортогонального оператора.

Описался, извиняюсь. Необходимо доказать, конечно, что $(Q(x),Q(y))=(x,y)$, тогда оператор является ортогональным по определению. При этом дано, что $(Q(x),Q(x))=(x,x) $$x$, т.к. оператор не изменяет нормы элементов.

 
 
 
 Re: Ортогональный оператор - доказательство свойства
Сообщение05.06.2020, 17:14 
Аватара пользователя
Попробуйте расписать скалярное произведение $(x + y, x + y) = \|x + y\|^2$.

 
 
 
 Re: Ортогональный оператор - доказательство свойства
Сообщение05.06.2020, 18:54 
mihaild в сообщении #1467177 писал(а):
Попробуйте расписать скалярное произведение $(x + y, x + y) = \|x + y\|^2$.

Спасибо, получилось!

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group