Ортогональный оператор - доказательство свойства

[kirkirkir]

Здравствуйте!
Помогите, пожалуйста, доказать следующее утверждение: если оператор не изменяет нормы элементов линейного пространства, то этот оператор является ортогональным.
То, что в обратную сторону верно (если оператор ортогональный, то он не изменяет нормы элементов) - доказывается тривиально.
Есть следующая идея: необходимо доказать, что $(Q(x),Q(x))=(x,x)$. Попробовать представить $x$ как сумму каких-либо произвольных элементов линейного пространства, т.е. $x=y+z$. Или, может быть, $x=x-z+z$. Но вряд ли это приведет к тому, что нужно, и с обоснованием проблемы.

[nnosipov]

kirkirkir в сообщении #1467165 писал(а):

Есть следующая идея: необходимо доказать, что $(Q(x),Q(x))=(x,x)$.

А это разве не дано? Сформулируйте определение ортогонального оператора.

[kirkirkir]

nnosipov в сообщении #1467166 писал(а):

kirkirkir в сообщении #1467165 писал(а):

Есть следующая идея: необходимо доказать, что $(Q(x),Q(x))=(x,x)$.

А это разве не дано? Сформулируйте определение ортогонального оператора.

Описался, извиняюсь. Необходимо доказать, конечно, что $(Q(x),Q(y))=(x,y)$, тогда оператор является ортогональным по определению. При этом дано, что $(Q(x),Q(x))=(x,x) $ ∀$x$, т.к. оператор не изменяет нормы элементов.

[mihaild]

Попробуйте расписать скалярное произведение $(x + y, x + y) = \|x + y\|^2$.

[kirkirkir]

mihaild в сообщении #1467177 писал(а):

Попробуйте расписать скалярное произведение $(x + y, x + y) = \|x + y\|^2$.

Спасибо, получилось!