ОДУ с обобщенной функцией

[RikkiTan1]

Доброго времени суток! Пытаюсь решить такую задачу: найти в $D'$ все решения уравнения $y''+4y'+3y=v.p\frac{1}{x}$.
Поначалу я думал все просто, найду фундаментальное решение, сверну с функцией $v.p.\frac{1}{x}$ и получу частное решение. Но потом понял, что у $v.p.\frac{1}{x}$ носитель не компактен, а общая теорию учит сворачивать только функции с компактными носителями.
Попробовал взять преобразование Фурье от обеих частей уравнения, чтобы найти частное решение. Получил следующее:

$$-y^2F+4iyF+3F=i\sqrt{\frac{\pi}{2}}sgn(y)$$

или

$$F=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{\pi}{2}}\left(\frac{sgn (y)}{y-3i}-\frac{sgn(y)}{y+i}\right)$$

Где $F-$ преобразование Фурье функции $y$, $i\sqrt{\frac{\pi}{2}}sgn(y)$ - преобразование Фурье функции $v.p.\frac{1}{x}$.
Получается, что остается научиться брать обратное преобразование Фурье от функций вида $\frac{sgn(y)}{y+ai}$ и задача решена. Хотел спросить, такие задача решаются именно таким способом? Т.е. ищется каким-то способом частное решение, а затем это найденное частное решение прибавляется к общему решению однородного уравнения.

[Sicker]

RikkiTan1
А главное значение оно же у интегралов, а не у функций. Со сверткой можно же решить

[RikkiTan1]

У меня получается, что фундаментальное решение $y_{\text{ф}}=\frac{e^{-x}-e^{-3x}}{2}\theta(x)$ - обобщенная функция не с компактным носителем, $(v.p.\frac{1}{x},\varphi)=v.p.\int\limits_\mathbb{R}\frac{\varphi(x)}{x}dx$ - тоже не с компактным носителем.

[DeBill]

RikkiTan1 в сообщении #1467026 писал(а):

общая теорию учит сворачивать только функции с компактными носителями.

Не только. Есть же еще сверточная алгера $D'_+$...
В Вашем случае это, правда, тоже не сработает, но - можно попробовать показать существование свертки в соответствии с общим определением?

[Red_Herring]

Какова цель? Если некоторая формула (неявного вида), то все просто: правую часть можно представить в виде суммы двух функций: $f_>(x)= f(x)\phi_>(x)$ и $f_<(x) =f(x)\phi_<(x)$ с носителями в $[-1,\infty)$ и $(-\infty, 1]$ соответсвенно и использовать две свертки : с $E_{\gtrless} (x)= \pm \frac{1}{2}\Bigl(e^{-x}-e^{-3x}\Bigr)\theta (\pm x)$ соответственно, $\theta$ функция Хевисайда. Разумеется, в зависимости от разбиения единицы $\theta_> +\theta_< =1$ мы получим разные частные решения (ну и что?)

Как уже было сказано можно свертывать и в таком случае, когда носители лежат в полупрямых одного направления (а в многомерном случае, когда носители лежат в $a+\Gamma$, $b+\Gamma$, где $\Gamma$ замкнутый выпуклый собственный конус).

[RikkiTan1]

Цель проста - решаю задачи "из листочка", правда их нужно будет сдать. Наверное, задачи подобраны так, чтобы с их помощью лучше разобраться в материале, который не вошел в курс, а не чтобы набить руку в решении типовых задач. В принципе, я вроде бы разобрался с задачей, спасибо.