2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 ОДУ с обобщенной функцией
Сообщение04.06.2020, 13:10 
Аватара пользователя


21/09/13
137
Уфа
Доброго времени суток! Пытаюсь решить такую задачу: найти в $D'$ все решения уравнения $y''+4y'+3y=v.p\frac{1}{x}$.
Поначалу я думал все просто, найду фундаментальное решение, сверну с функцией $v.p.\frac{1}{x}$ и получу частное решение. Но потом понял, что у $v.p.\frac{1}{x}$ носитель не компактен, а общая теорию учит сворачивать только функции с компактными носителями.
Попробовал взять преобразование Фурье от обеих частей уравнения, чтобы найти частное решение. Получил следующее:
$$-y^2F+4iyF+3F=i\sqrt{\frac{\pi}{2}}sgn(y)$$ или $$F=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{\pi}{2}}\left(\frac{sgn (y)}{y-3i}-\frac{sgn(y)}{y+i}\right)$$
Где $F-$ преобразование Фурье функции $y$, $i\sqrt{\frac{\pi}{2}}sgn(y)$ - преобразование Фурье функции $v.p.\frac{1}{x}$.
Получается, что остается научиться брать обратное преобразование Фурье от функций вида $\frac{sgn(y)}{y+ai}$ и задача решена. Хотел спросить, такие задача решаются именно таким способом? Т.е. ищется каким-то способом частное решение, а затем это найденное частное решение прибавляется к общему решению однородного уравнения.

 Профиль  
                  
 
 Re: ОДУ с обобщенной функцией
Сообщение04.06.2020, 13:28 
Аватара пользователя


13/08/13

4323
RikkiTan1
А главное значение оно же у интегралов, а не у функций. Со сверткой можно же решить

 Профиль  
                  
 
 Re: ОДУ с обобщенной функцией
Сообщение04.06.2020, 20:51 
Аватара пользователя


21/09/13
137
Уфа
У меня получается, что фундаментальное решение $y_{\text{ф}}=\frac{e^{-x}-e^{-3x}}{2}\theta(x)$ - обобщенная функция не с компактным носителем, $(v.p.\frac{1}{x},\varphi)=v.p.\int\limits_\mathbb{R}\frac{\varphi(x)}{x}dx$ - тоже не с компактным носителем.

 Профиль  
                  
 
 Re: ОДУ с обобщенной функцией
Сообщение04.06.2020, 21:37 
Заслуженный участник


10/01/16
2318
RikkiTan1 в сообщении #1467026 писал(а):
общая теорию учит сворачивать только функции с компактными носителями.

Не только. Есть же еще сверточная алгера $D'_+$...
В Вашем случае это, правда, тоже не сработает, но - можно попробовать показать существование свертки в соответствии с общим определением?

 Профиль  
                  
 
 Re: ОДУ с обобщенной функцией
Сообщение04.06.2020, 23:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11484
Hogtown
Какова цель? Если некоторая формула (неявного вида), то все просто: правую часть можно представить в виде суммы двух функций: $f_>(x)= f(x)\phi_>(x)$ и $f_<(x) =f(x)\phi_<(x)$ с носителями в $[-1,\infty)$ и $(-\infty, 1]$ соответсвенно и использовать две свертки : с $E_{\gtrless} (x)= \pm \frac{1}{2}\Bigl(e^{-x}-e^{-3x}\Bigr)\theta (\pm x)$ соответственно, $\theta$ функция Хевисайда. Разумеется, в зависимости от разбиения единицы $\theta_> +\theta_< =1$ мы получим разные частные решения (ну и что?)

Как уже было сказано можно свертывать и в таком случае, когда носители лежат в полупрямых одного направления (а в многомерном случае, когда носители лежат в $a+\Gamma$, $b+\Gamma$, где $\Gamma$ замкнутый выпуклый собственный конус).

 Профиль  
                  
 
 Re: ОДУ с обобщенной функцией
Сообщение05.06.2020, 22:56 
Аватара пользователя


21/09/13
137
Уфа
Цель проста - решаю задачи "из листочка", правда их нужно будет сдать. Наверное, задачи подобраны так, чтобы с их помощью лучше разобраться в материале, который не вошел в курс, а не чтобы набить руку в решении типовых задач. В принципе, я вроде бы разобрался с задачей, спасибо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: B@R5uk


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group