интеграл от sinc(x)*log|x|

[pimeja]

Mathematica считает интеграл:

$$ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \log |x| dx = -\Gamma(\pi) $$

Пробую посчитать тоже используя лемму Жордана

$$ f(z) = \frac{\log |z|}{z} $$

Условие на использование

$$ |f(Re^{i\varphi})| = \frac{\log R}{R} \to 0, \qquad R\to\infty $$

Используем

$$ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{ix}}{x} \log |x| dx = \pi i res_{z=0} (\frac{e^{iz}}{z} \log |z| ) = \pi i \int_{C} \frac{e^{iz}}{z} \log |z| dz = 0 $$

так как $C$ - единичная окружность и $log|z| = 0, z \in C$.

Где ошибка? Что делать?

[ewert]

Логарифм модуля не аналитичен. Кроме того, ноль не является изолированной особой точкой, и вычет в нём не имеет смысла.

[ГАЗ-67]

К решению этой задачи можно подойти следующим образом .
Пусть f(x) чётная не имеющая сингулярностей на действительной оси функция и $|f(z)|\leqslant M*|z|^{-p}$ при $|z|\to \infty$ , p>1.Пусть $z_1,z_2,...,z_m$ полюса f(z) в верхней полуплоскости и $r_j$ вычеты функции f(z)ln(z) в этих полюсах .
Тогда

$$\int_{0}^{\infty}f(x)ln(x)dx$$

=Re[Pi*i

$$\sum\limits_{j=1}^m r_j$$

].
Осталось отметить , что $0$ является устранимой особой точкой , а исходный интеграл с пределами -$\infty$ и +$\infty$ можно свести к интегралу с пределами 0 и $\infty$.

[ewert]

ГАЗ-67 писал(а):

Осталось отметить , что $0$ является устранимой особой точкой , а

а осталось отметить, что ноль вообще не есть особая точка в стандартном понимании (в присутствии логарифма)

[ГАЗ-67]

Ошибся. Я имел ввиду , что $\frac{sinx}{x}$ имеет в нуле устранимую особенность .