2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 интеграл от sinc(x)*log|x|
Сообщение23.09.2008, 02:11 
Mathematica считает интеграл:
$$
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \log |x| dx = -\Gamma(\pi)
$$

Пробую посчитать тоже используя лемму Жордана
$$
f(z) = \frac{\log |z|}{z}
$$

Условие на использование
$$
|f(Re^{i\varphi})| = \frac{\log R}{R} \to 0, \qquad R\to\infty
$$

Используем
$$
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{ix}}{x} \log |x| dx = 
\pi i res_{z=0} (\frac{e^{iz}}{z} \log |z| ) = 
\pi i \int_{C} \frac{e^{iz}}{z} \log |z| dz = 0
$$
так как $C$ - единичная окружность и $log|z| = 0, z \in C$.

Где ошибка? Что делать?

 
 
 
 
Сообщение23.09.2008, 02:34 
Логарифм модуля не аналитичен. Кроме того, ноль не является изолированной особой точкой, и вычет в нём не имеет смысла.

 
 
 
 
Сообщение25.09.2008, 12:24 
К решению этой задачи можно подойти следующим образом .
Пусть f(x) чётная не имеющая сингулярностей на действительной оси функция и $|f(z)|\leqslant M*|z|^{-p}$ при $|z|\to \infty$ , p>1.Пусть $z_1,z_2,...,z_m$ полюса f(z) в верхней полуплоскости и $r_j$ вычеты функции f(z)ln(z) в этих полюсах .
Тогда $$\int_{0}^{\infty}f(x)ln(x)dx$$=Re[Pi*i$$\sum\limits_{j=1}^m r_j$$].
Осталось отметить , что $0$ является устранимой особой точкой , а исходный интеграл с пределами -$\infty$ и +$\infty$ можно свести к интегралу с пределами 0 и $\infty$.

 
 
 
 
Сообщение25.09.2008, 20:48 
ГАЗ-67 писал(а):
Осталось отметить , что $0$ является устранимой особой точкой , а

а осталось отметить, что ноль вообще не есть особая точка в стандартном понимании (в присутствии логарифма)

 
 
 
 
Сообщение26.09.2008, 12:34 
Ошибся. Я имел ввиду , что $\frac{sinx}{x}$ имеет в нуле устранимую особенность .

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group