Апроксимация гармонической функции на границе и в области

[sasha-parazit]

Пусть $Q$ - единичный круг радиуса 1 с центром в начале координат на плоскости.
Задана последовательность гармонических функций $u_i$, следы(значения на границе) которых сходится на границе круга к следу некоторой гармонической функции $u$ в норме $L_2$, т.е.

$$\left\| u-u_i\right\|_{L_2(\partial Q)} \rightarrow 0$$

при $i \rightarrow \infty$.
Вопрос: выполняется ли при этом

$$\left\| u-u_i\right\|_{L_2( Q)} \rightarrow 0$$

при $i \rightarrow \infty$?

P.S. $u$ и $u_i$ можно считать принадлежащими $C^3(\bar{Q})$, где $\bar{Q}$ -- $Q$ вместе со своей границей.

[zoo]

sasha-parazit писал(а):

Пусть $Q$ - единичный круг радиуса 1 с центром в начале координат на плоскости.
Задана последовательность гармонических функций $u_i$, следы(значения на границе) которых сходится на границе круга к следу некоторой гармонической функции $u$ в норме $L_2$, т.е.

$$\left\| u-u_i\right\|_{L_2(\partial Q)} \rightarrow 0$$

при $i \rightarrow \infty$.
Вопрос: выполняется ли при этом

$$\left\| u-u_i\right\|_{L_2( Q)} \rightarrow 0$$

при $i \rightarrow \infty$?

P.S. $u$ и $u_i$ можно считать принадлежащими $C^3(\bar{Q})$, где $\bar{Q}$ -- $Q$ вместе со своей границей.

интегральную формулу выражающую гармоническю функцию через ее значения на границе сюда выпишите

[sasha-parazit]

Вы имеете в виду формулу Пуассона?

$$u(x,y) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(\alpha) \frac{1-x^2-y^2}{1+x^2+y^2-2(xcos\alpha+ysin\alpha)}$$

Отсюда следует, что

$$|u(x,y)| \leq C\left\|f\right\|_{L_2(\partial Q)}\left\| \frac{1-x^2-y^2}{1+x^2+y^2-2(xcos\alpha+ysin\alpha)} \right\|_{L_2(\partial Q)}$$

обозначим $r^2=x^2+y^2$,
при $r \rightarrow 1$
норма $$\left\| \frac{1-x^2-y^2}{1+x^2+y^2-2(xcos\alpha+ysin\alpha)} \right\|_{L_2(\partial Q)} \approx \frac{2\pi}{\sqrt{1-r}}

получить оценку

$$\left\|u\right\|_{L_2(Q)} \leq K\left\|f\right\|_{L_2(\partial Q)}$$

затруднительно


Меня очень интересует вопрос также для произвольной $Q$ с кусочно-гладкой (или хотябы Ляпуновской границей).
Существует ли оценка вида

$$\left\|u\right\|_{L_2(Q)} \leq K\left\|f\right\|_{L_2(\partial Q)}$$

не для круга?

[zoo]

sasha-parazit писал(а):

Вы имеете в виду формулу Пуассона?

$$u(x,y) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(\alpha) \frac{1-x^2-y^2}{1+x^2+y^2-2(xcos\alpha+ysin\alpha)}$$

Отсюда следует, что

$$|u(x,y)| \leq C\left\|f\right\|_{L_2(\partial Q)}\left\| \frac{1-x^2-y^2}{1+x^2+y^2-2(xcos\alpha+ysin\alpha)} \right\|_{L_2(\partial Q)}$$

обозначим $r^2=x^2+y^2$,
при $r \rightarrow 1$
норма $$\left\| \frac{1-x^2-y^2}{1+x^2+y^2-2(xcos\alpha+ysin\alpha)} \right\|_{L_2(\partial Q)} \approx \frac{2\pi}{\sqrt{1-r}}

получить оценку

$$\left\|u\right\|_{L_2(Q)} \leq K\left\|f\right\|_{L_2(\partial Q)}$$

затруднительно




Меня очень интересует вопрос также для произвольной $Q$ с кусочно-гладкой (или хотябы Ляпуновской границей).
Существует ли оценка вида

$$\left\|u\right\|_{L_2(Q)} \leq K\left\|f\right\|_{L_2(\partial Q)}$$

не для круга?

у меня получилось так
$$|u(x,y)| \le c_1r^{-1/2}\|f\|_{L_2(\partial Q)}$
откуда следует, что $\left\|u\right\|_{L_2(Q)} \leq c_2\left\|f\right\|_{L_2(\partial Q)}$

Общий факт следующий: пусть $\Delta u=0$ в $\Omega$ --огран. область с кусочно гладкой границей
$\|u\|_{H^{s+1/2}(\Omega)}\le c \|u\mid_{\partial\Omega}\|_{H^s(\partial\Omega)},$
$s\ge 1/2$ [ Taylor PDE vol.1 p.307]
там правда еще написано, что на самом деле эту оцеку можно обобщить для $s\in \mathbb{R}$, но это я уже не знаю, что такое след обобщенной функции, это надо разбираться

[sasha-parazit]

Цитата:

у меня получилось так
$$|u(x,y)| \le c_1r^{-1/2}\|f\|_{L_2(\partial Q)}$
откуда следует, что $\left\|u\right\|_{L_2(Q)} \leq c_2\left\|f\right\|_{L_2(\partial Q)}$

Общий факт следующий: пусть $\Delta u=0$ в $\Omega$ --огран. область с кусочно гладкой границей
$\|u\|_{H^{s+1/2}(\Omega)}\le c \|u\mid_{\partial\Omega}\|_{H^s(\partial\Omega)},$
$s\ge 1/2$ [ Taylor PDE vol.1 p.307]
там правда еще написано, что на самом деле эту оцеку можно обобщить для $s\in \mathbb{R}$, но это я уже не знаю, что такое след обобщенной функции, это надо разбираться

Спасибо, zoo, за ссылку. Вы не знаете есть ли изложение этого результата на русском языке?

Свою оценку $\frac{2\pi}{\sqrt{1-r}}$ проверял в Maple.
>restart;Digits:=40;
> f:=(1-r^2)/(1+r^2 - 2*r*cos(alpha));
> assume(r,real);
> r:=0.9999999999;
> int(f^2*(1-r),alpha=-Pi..Pi);
6.283185306865427211582015405981475794422

[venja]

Фактически речь идет о корректности (устойчивочти) задачи Дирихле для уравнения Лапласа на соответствующей паре пространств. Кажется, об этом есть что-то в книге Соломона Григорьевича Михлина "Курс математической физики".

[zoo]

да моя оценка была неправильная, вот еслиб еще условие равномерной ограниченности в $L^\infty(\partial Q)$
для функций $u_i$