2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Апроксимация гармонической функции на границе и в области
Сообщение25.09.2008, 11:18 


08/09/08
40
Пусть $Q$ - единичный круг радиуса 1 с центром в начале координат на плоскости.
Задана последовательность гармонических функций $u_i$, следы(значения на границе) которых сходится на границе круга к следу некоторой гармонической функции $u$ в норме $L_2$, т.е.
$$\left\| u-u_i\right\|_{L_2(\partial Q)}  \rightarrow 0$$
при $i \rightarrow \infty$.
Вопрос: выполняется ли при этом
$$\left\| u-u_i\right\|_{L_2( Q)}  \rightarrow 0$$
при $i \rightarrow \infty$?

P.S. $u$ и $u_i$ можно считать принадлежащими $C^3(\bar{Q})$, где $\bar{Q}$ -- $Q$ вместе со своей границей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Апроксимация гармонической функции на границе и в област
Сообщение25.09.2008, 11:39 
Аватара пользователя


02/04/08
742
sasha-parazit писал(а):
Пусть $Q$ - единичный круг радиуса 1 с центром в начале координат на плоскости.
Задана последовательность гармонических функций $u_i$, следы(значения на границе) которых сходится на границе круга к следу некоторой гармонической функции $u$ в норме $L_2$, т.е.
$$\left\| u-u_i\right\|_{L_2(\partial Q)}  \rightarrow 0$$
при $i \rightarrow \infty$.
Вопрос: выполняется ли при этом
$$\left\| u-u_i\right\|_{L_2( Q)}  \rightarrow 0$$
при $i \rightarrow \infty$?

P.S. $u$ и $u_i$ можно считать принадлежащими $C^3(\bar{Q})$, где $\bar{Q}$ -- $Q$ вместе со своей границей.

интегральную формулу выражающую гармоническю функцию через ее значения на границе сюда выпишите

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.09.2008, 13:02 


08/09/08
40
Вы имеете в виду формулу Пуассона?
$$u(x,y) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(\alpha) \frac{1-x^2-y^2}{1+x^2+y^2-2(xcos\alpha+ysin\alpha)}$$
Отсюда следует, что
$$|u(x,y)| \leq   C\left\|f\right\|_{L_2(\partial Q)}\left\|  \frac{1-x^2-y^2}{1+x^2+y^2-2(xcos\alpha+ysin\alpha)}  \right\|_{L_2(\partial Q)}$$

обозначим $r^2=x^2+y^2$,
при $r \rightarrow 1$
норма $$\left\| \frac{1-x^2-y^2}{1+x^2+y^2-2(xcos\alpha+ysin\alpha)} \right\|_{L_2(\partial Q)} \approx \frac{2\pi}{\sqrt{1-r}}

получить оценку
$$\left\|u\right\|_{L_2(Q)}  \leq   K\left\|f\right\|_{L_2(\partial Q)}$$
затруднительно


Меня очень интересует вопрос также для произвольной $Q$ с кусочно-гладкой (или хотябы Ляпуновской границей).
Существует ли оценка вида
$$\left\|u\right\|_{L_2(Q)}  \leq   K\left\|f\right\|_{L_2(\partial Q)}$$
не для круга?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.09.2008, 15:02 
Аватара пользователя


02/04/08
742
sasha-parazit писал(а):
Вы имеете в виду формулу Пуассона?
$$u(x,y) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(\alpha) \frac{1-x^2-y^2}{1+x^2+y^2-2(xcos\alpha+ysin\alpha)}$$
Отсюда следует, что
$$|u(x,y)| \leq   C\left\|f\right\|_{L_2(\partial Q)}\left\|  \frac{1-x^2-y^2}{1+x^2+y^2-2(xcos\alpha+ysin\alpha)}  \right\|_{L_2(\partial Q)}$$

обозначим $r^2=x^2+y^2$,
при $r \rightarrow 1$
норма $$\left\| \frac{1-x^2-y^2}{1+x^2+y^2-2(xcos\alpha+ysin\alpha)} \right\|_{L_2(\partial Q)} \approx \frac{2\pi}{\sqrt{1-r}}

получить оценку
$$\left\|u\right\|_{L_2(Q)}  \leq   K\left\|f\right\|_{L_2(\partial Q)}$$
затруднительно




Меня очень интересует вопрос также для произвольной $Q$ с кусочно-гладкой (или хотябы Ляпуновской границей).
Существует ли оценка вида
$$\left\|u\right\|_{L_2(Q)}  \leq   K\left\|f\right\|_{L_2(\partial Q)}$$
не для круга?

у меня получилось так
$$|u(x,y)| \le   c_1r^{-1/2}\|f\|_{L_2(\partial Q)}$
откуда следует, что $\left\|u\right\|_{L_2(Q)}  \leq   c_2\left\|f\right\|_{L_2(\partial Q)}$

Общий факт следующий: пусть $\Delta u=0$ в $\Omega$ --огран. область с кусочно гладкой границей
$\|u\|_{H^{s+1/2}(\Omega)}\le c \|u\mid_{\partial\Omega}\|_{H^s(\partial\Omega)},$
$s\ge 1/2$ [ Taylor PDE vol.1 p.307]
там правда еще написано, что на самом деле эту оцеку можно обобщить для $s\in \mathbb{R}$, но это я уже не знаю, что такое след обобщенной функции, это надо разбираться

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.09.2008, 17:12 


08/09/08
40
Цитата:
у меня получилось так
$$|u(x,y)| \le   c_1r^{-1/2}\|f\|_{L_2(\partial Q)}$
откуда следует, что $\left\|u\right\|_{L_2(Q)}  \leq   c_2\left\|f\right\|_{L_2(\partial Q)}$

Общий факт следующий: пусть $\Delta u=0$ в $\Omega$ --огран. область с кусочно гладкой границей
$\|u\|_{H^{s+1/2}(\Omega)}\le c \|u\mid_{\partial\Omega}\|_{H^s(\partial\Omega)},$
$s\ge 1/2$ [ Taylor PDE vol.1 p.307]
там правда еще написано, что на самом деле эту оцеку можно обобщить для $s\in \mathbb{R}$, но это я уже не знаю, что такое след обобщенной функции, это надо разбираться


Спасибо, zoo, за ссылку. Вы не знаете есть ли изложение этого результата на русском языке?

Свою оценку $\frac{2\pi}{\sqrt{1-r}}$ проверял в Maple.
>restart;Digits:=40;
> f:=(1-r^2)/(1+r^2 - 2*r*cos(alpha));
> assume(r,real);
> r:=0.9999999999;
> int(f^2*(1-r),alpha=-Pi..Pi);
6.283185306865427211582015405981475794422

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.09.2008, 18:22 


08/09/07
125
Екатеринбург
Фактически речь идет о корректности (устойчивочти) задачи Дирихле для уравнения Лапласа на соответствующей паре пространств. Кажется, об этом есть что-то в книге Соломона Григорьевича Михлина "Курс математической физики".

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.09.2008, 12:18 
Аватара пользователя


02/04/08
742
да моя оценка была неправильная, вот еслиб еще условие равномерной ограниченности в $L^\infty(\partial Q)$
для функций $u_i$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group