Движение под действием постоянной мощности

[Mathew Rogan]

Не знаю, стоит ли эта задача олимпиадного раздела, но ответ получается неожиданный и красивый.

Тело массы $m$ начинает скользить по горизонтальной дороге с коэффициентом трения $\mu$ под действием двигателя постоянной мощности $P$. Требуется установить закон изменения скорости тела $\upsilon(t)$.

[DimaM]

Mathew Rogan в сообщении #1466471 писал(а):

под действием двигателя постоянной мощности

А двигатель колеса крутит или за веревочку тянет?

[Mathew Rogan]

DimaM в сообщении #1466472 писал(а):

Mathew Rogan в сообщении #1466471 писал(а):

под действием двигателя постоянной мощности

А двигатель колеса крутит или за веревочку тянет?

Колёс нет, за верёвочку :)

[DimaM]

Mathew Rogan

(Оффтоп)

У меня получилось

$$v+v_{\max}\ln(1-v/v_{\max})=-\mu gt,$$

где $v_{\max}=P/(\mu mg)$.

Обратить это и выразить $v(t)$ у меня не выходит.

[Mathew Rogan]

DimaM
Всё верно. Вся фишка этой задачи как раз в обращении этого выражения. Это, конечно, чисто математическая проблема, но тем не менее.

[DimaM]

Mathew Rogan
Альфа выдает в качестве решения функцию Ламберта, которая в элементарных не выражается.

[Mathew Rogan]

Всё верно! Закон изменения скорости выражается через W-функцию Ламберта. По-моему, это неожиданный результат, учитывая очень простую и понятную постановку задачи. Я недавно придумал эту задачу и понял, что она неразрешима в элементарных функциях. Найти поиском что-то подобное я не смог.

[DimaM]

Mathew Rogan
А какая асимптотика при больших временах?
Как себя разница $v-v_{\max}$ ведет?

[Mathew Rogan]

Точный ответ такой:

(Оффтоп)

$ v = v_{\max} [1 + W(-e^{-1 - \frac{\mu gt}{v_{\max}}})] $.

Тогда:
$v - v_{\max} = v_{\max} \cdot W(-e^{-1 - \frac{\mu gt}{v_{\max}}}).$

При малых аргументах можно считать $W(x) = x, $ так что на больших временах
$v - v_{\max} = - v_{\max} \cdot e^{- \frac{\mu gt}{v_{\max}}}$

[DimaM]

Mathew Rogan в сообщении #1466546 писал(а):

Точный ответ такой

Ожидаемая экспонента.

[reterty]

Mathew Rogan, пока Вы придумывали эту задачу, ее опубликовали: https://iopscience.iop.org/article/10.1 ... 404/ab8c1e P.S. Можно пытаться выразить скорость в терминах пройденного пути. Должно получиться нечто аналитическое...

[Mathew Rogan]

reterty
Ух ты, спасибо за ссылку - значит, я плохо искал. Судя по аннотации, у них там не только этот случай рассмотрен.

[pogulyat_vyshel]

(Оффтоп)

Mathew Rogan

не огорчайтесь, вот вам тема публикации в образовательном журнале

Два круглых цилиндра $P$ и $Q$ радиусов $r_P, r_Q$ прижаты друг к другу с силой $N$; коэффициент сухого трения между цилиндрами равен $k$. Оси цилиндров неподвижны и угол между ними равен $\theta\in (0,\pi/2]$.
Цилиндры поворачиваются вокруг своих осей под действием моментов сил $M_P, M_Q$ соответственно. Моменты направлены вдоль осей цилиндров. Масса каждого цилиндра распределена осесимметрично. Моменты инерции цилиндров относительно осей равны соответственно $J_P,J_Q$.
Нарисовать (при различных значениях параметров) фазовый портрет задачи на плоскости $\omega_P, \omega_Q$ – угловых скоростей цилиндров.